PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tất cả các nghiệm của phương trình \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2  = 0\) là 

Ta có \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \sin 2x \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - 2x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = - 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \pi + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{2\pi }}{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Chọn C.

Ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 1} \ge 2 - 4x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge 1 - 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x \ge 0\\{x^2} + 1 \ge {\left( {1 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\3{x^2} - 4x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 0\).

Mà \(x \in \left( { - 2024;2025} \right),\,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,...;\,2024} \right\}\).

Đáp án: \(2\,025\).