Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) thuộc khoảng \(\left( { - 2024;2025} \right)\) thỏa mãn bất phương trình \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)?

Ta có \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 1} \ge 2 - 4x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} \ge 1 - 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}1 - 2x \ge 0\\{x^2} + 1 \ge {\left( {1 - 2x} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\3{x^2} - 4x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\0 \le x \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 0\).

Mà \(x \in \left( { - 2024;2025} \right),\,x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,...;\,2024} \right\}\).

Đáp án: \(2\,025\).