Ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng tăng có tổng bằng \(24\). Nếu cộng thêm lần lượt các số \(1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13\) vào ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) ta được ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức \[P = {x^2} + {y^2} + {z^2}\].

Ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 24 nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\, + y\, + z\, = \,\,24\,\\x + z\, = \,2y\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\). Ta viết lại 3 số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) lần lượt bằng \(8 - d\), 8, \(8 + d\).

Nếu cộng thêm lần lượt các số \(1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13\) vào ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) ta được ba số là \(9 - d,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 12,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 21 + d\).

Vì ba số này theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có phương trình

\[\left( {9 - d} \right)\left( {21 + d} \right) = {12^2}\,\]\[ \Leftrightarrow \,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {d^2} + 12d - 45 = 0\]\[\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\,d = 3\,\\\,d = - 15\end{array} \right.\].

Vì cấp số cộng tăng nên \(d > 0 \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \)ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) lần lượt bằng \(5,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 8,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 11\).

Suy ra \[P = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2} + {8^2} + {11^2} = 210\].

Đáp án: \(210\).