Ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng tăng có tổng bằng \(24\). Nếu cộng thêm lần lượt các số \(1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13\) vào ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) ta được ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức \[P = {x^2} + {y^2} + {z^2}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân (Đề số 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 24 nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\, + y\, + z\, = \,\,24\,\\x + z\, = \,2y\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8\). Ta viết lại 3 số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) lần lượt bằng \(8 - d\), 8, \(8 + d\).

Nếu cộng thêm lần lượt các số \(1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13\) vào ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) ta được ba số là \(9 - d,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 12,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 21 + d\).

Vì ba số này theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có phương trình

\[\left( {9 - d} \right)\left( {21 + d} \right) = {12^2}\,\]\[ \Leftrightarrow \,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {d^2} + 12d - 45 = 0\]\[\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\,d = 3\,\\\,d = - 15\end{array} \right.\].

Vì cấp số cộng tăng nên \(d > 0 \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \)ba số \(x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z\) lần lượt bằng \(5,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 8,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 11\).

Suy ra \[P = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2} + {8^2} + {11^2} = 210\].

Đáp án: \(210\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 5\), \(d = 2\). Số \(81\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

A. \(75\).

B. \(44\).

C. \(100\).

D. \(50\).

Lời giải

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 \Leftrightarrow n = 44\). Chọn B.

Câu 2

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên \(k\) sao cho \(C_{14}^k\), \(C_{14}^{k + 1}\), \(C_{14}^{k + 2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: \[k \in \mathbb{N},k \le 12\].

\(C_{14}^k\), \(C_{14}^{k + 1}\), \(C_{14}^{k + 2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có

\(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\) \( \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = 2\left( {14 - k} \right)\left( {k + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4{\rm{ (tm)}}\\k = 8{\rm{ (tm)}}\end{array} \right.\).

Tổng tất cả các phần tử của \(S = 4 + 8 = 12\).

Đáp án: \(12\).

Câu 3

Tính tổng \(S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9\) (số hạng cuối có n số 9) ta được kết quả là

A. \(S = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n\).

B. \(S = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} + n\).

C. \[S = \frac{{{{10}^n} + 1}}{9} - n\].

D. \(S = \frac{{{{10}^n} - 1}}{9} + n\).

Lời giải