Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu. b) \(f\left( 5 \right) = 52\). c) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{2}{5}\). d) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\) đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\).

Từ đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). Chọn D.

Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ sau:

Như đã phân tích ở đề bài, nếu đi trực tiếp từ \(A\) đến \(B\) trên sa mạc với vận tốc và khoảng cách hiện có thì nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định. Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành \(3\) giai đoạn:

Giai đoạn 1: đi từ \(A\) đến \(C\) (từ sa mạc đến đường nhựa song song).

Giai đoạn 2: đi từ \(C\) đến \(D\) (một quãng đường nào đó trên đường nhựa).

Giai đoạn 3: đi từ \(D\) đến \(B\) (từ điểm kết thúc \(D\) trên đường nhựa đi tiếp đến \(B\) băng qua sa mạc).

Gọi \(C,D\) là các điểm như hình vẽ.

Khi đó gọi \(HC = x\,\left( {{\rm{km}}} \right)\,\,\left( {0 < x < 100} \right)\) và \(DK = y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\,\left( {0 < y < 100} \right)\).

Quãng đường đi từ \(A\) đến \(C\) là \(AC = \sqrt {225 + {x^2}} \left( {{\rm{km}}} \right) \Rightarrow {t_1} = \frac{{AC}}{{{v_{samac}}}} = \frac{{\sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}}\) (giờ).

Quãng đường đi từ \(D\) đến \(B\) là \(DB = \sqrt {225 + {y^2}} \,\left( {{\rm{km}}} \right) \Rightarrow {t_2} = \frac{{DB}}{{{v_{samac}}}} = \frac{{\sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}}\) (giờ).

Và quãng đường đi \(C\) đến \(D\) là \(CD = 100 - \left( {x + y} \right)\,\,\left( {{\rm{km}}} \right) \Rightarrow {t_3} = \frac{{CD}}{{{v_{duong\,nhua}}}} = \frac{{100 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\) (giờ).

Vậy tổng thời gian mà nhà địa chất học đi từ A đến B là \(t = {t_1} + {t_2} + {t_3}\).

\( \Rightarrow t = T\left( {x;y} \right) = \frac{{\sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{\sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{100 - \left( {x + y} \right)}}{{50}}\).

Đến đây ta cần tìm \(\min T\left( {x;y} \right)\).

Ta có \(T\left( {x;y} \right) = \frac{{\sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{50 - x}}{{50}} + \frac{{\sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} + \frac{{50 - y}}{{50}} = f\left( x \right) + f\left( y \right)\).

Xét hàm số \(f\left( u \right) = \frac{{\sqrt {225 + {u^2}} }}{{30}} + \frac{{50 - u}}{{50}},\,\,0 < u < 100\).

Ta có \[f'\left( u \right) = \frac{u}{{30\sqrt {225 + {u^2}} }} - \frac{1}{{50}},f'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {225 + {u^2}}  = \frac{{5u}}{3} > 0 \Leftrightarrow u = \frac{{45}}{4}\].

Lập bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{u \in \left( {0;100} \right)} f\left( u \right) = f\left( {\frac{{45}}{4}} \right) = \frac{7}{5}\).

Do đó ta có \(T\left( {x;y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) \ge \frac{7}{5} + \frac{7}{5} = \frac{{14}}{5}\)(giờ) \( = 168\) (phút).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \frac{{45}}{4}\).

Đáp án: \(168\).