Câu hỏi:

17/06/2025 15

Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ bên, biết \[OS = 8\,\,{\rm{m}}\], \[AB = 6\,\,{\rm{m}}\] với \[O\] là trung điểm của \[AB\]. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá \(100\,000\) đồng/m², phần giữa là hình quạt tâm \[O\] bán kính \(3\,\,{\rm{m}}\) được tô đậm giá \(200\,000\) đồng/m², phần còn lại giá \(150\,000\) đồng/m². Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn hệ trục \[Oxy\] với tia \[Ox\] trùng với tia \[OB\], tia \[Oy\] trùng với tia \[OS\] như hình vẽ.

Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). (ảnh 2)

Khi đó ta có: \[A\left( { - 3;0} \right)\], \[B\left( {3;0} \right)\], \[S\left( {0;8} \right)\].

Suy ra parabol có phương trình là:

\[y = - \frac{8}{9}{x^2} + 8\] \[\left( P \right)\].

Rìa của hình quạt là cung tròn của đường tròn \[\left( C \right)\] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {9 - {x^2}} \].

Hoành độ điểm \[N\] là nghiệm phương trình \[ - \frac{8}{9}{x^2} + 8 = \sqrt {9 - {x^2}} ,\,0 < x < 3\]\[ \Rightarrow x = \frac{{3\sqrt {55} }}{8}\].

Ta có \[{y_N} = - \frac{8}{9}{x_N}^2 + 8 = \frac{9}{8}\]. Suy ra \[N\left( {\frac{{3\sqrt {55} }}{8};\frac{9}{8}} \right)\].

Phương trình đường thẳng \[ON\]: \[y = \frac{3}{{\sqrt {55} }}x\].

Vì tấm pano đối xứng qua trục \[Oy\] nên ta có:

Diện tích phần kẻ sọc: \[{S_1} = 2 \cdot \int\limits_0^{\frac{{3\sqrt {55} }}{8}} {\left( { - \frac{8}{9}{x^2} + 8 - \sqrt {9 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} \approx 17,94\,\]m2.

Diện tích phần tô đậm: \[{S_2} = 2 \cdot \int\limits_0^{\frac{{3\sqrt {55} }}{8}} {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} - \frac{3}{{\sqrt {55} }}x} \right)} \,{\rm{d}}x \approx 10,68\,\]m2.

Diện tích phần còn lại: \[S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left( { - \frac{8}{9}{x^2} + 8} \right){\rm{d}}x} - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) \approx 3,38\,\]m2.

Tổng chi phí để trang trí tấm pano là:

\[100{S_1} + 200{S_2} + 150S \approx 4\,440\] (nghìn đồng) \[ \approx 4,44\] (triệu đồng).

Đáp án: \(4,44\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).

d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x = - 0,0004{x^2} + 10,4x + C} \).

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(P\left( x \right) = - 0,0004{x^2} + 10,4x\).

Ta có \(P\left( {50} \right) = - 0,0004 \cdot {50^2} + 10,4 \cdot 50 = 519\) (triệu đồng).

Vậy lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\).

Theo đề ta có \( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\)

\( \Leftrightarrow - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) (triệu đồng).

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 2

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta đặt \(m = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt = \int\limits_1^2 {\left( {16{t^3} - 15{t^2} + 2mt - 21} \right){\rm{d}}t} \left. { = \left( {4{t^4} - 5{t^3} + m{t^2} - 21t} \right)} \right|_1^2 = 4 + 3m} \).

Khi đó ta có \(m = 4 + 3m\)\( \Leftrightarrow m = - 2\).

Thay \(m = - 2\) vào hàm số ta có \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} - 4x - 21\).

Suy ra \(f\left( 2 \right) = 39\).

Đáp án: \(39\).

Câu 3