Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2)

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x\).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là đoạn \[\left[ { - 1\,;\,1} \right]\].

b) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = {x^2} + \sin x} \).

c) \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1 + \sin 2} \).

d) Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{4}\).

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\].

a) \[\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\].

b) Hàm số \[f\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\].

c) \[\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{m}{n} + m\ln n\], với \[m,n \in {\mathbb{N}^ * }\], \[\frac{m}{n}\] là phân số tối giản. Tổng \[m + 2025n = 4057\].

d) Gọi \[G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[G\left( 1 \right) = 4\] và \[G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20\]. Khi đó \[G\left( { - 6} \right) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\], với \[a,b,c\] là các số hữu tỉ. Tổng \[a + b + c = \frac{2}{3}\].

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức \(P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4\). Ở đây \(P\left( x \right)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = - 0,0008{x^2} + 10,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

c) Biết sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(517\) triệu đồng, khi đó giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(100\).

d) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là \(49,79\) triệu đồng.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}\) có đồ thị \(\left( d \right)\) (xem hình bên).

a) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} \) với \(C\) là hằng số.

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), biết \(f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu?

Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng với thể tích của một vật thể \(\left( V \right)\) trong không gian. Biết rằng, điểm \(M\) thuộc \(\left( V \right)\) khi và chỉ khi \(MA \le \sqrt 2 \,{\rm{dm}}\) hoặc \(MB \le \sqrt 5 \,{\rm{dm}}\), trong đó \[A\] và \[B\] là hai điểm cố định, \[AB = 3\,\,{\rm{dm}}\]. Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).