Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2,M\) là một điểm thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\). Một mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(AD\), cắt các mặt của hình chóp theo hình là một tứ giác. Khi đó:

a) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((SAB)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\).

b) Giao tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) với mặt phẳng \((SAD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(SD\).

c) \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}\).

d) Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua \(M\) song song với \(AB\) và \(AD\), cắt các mặt của hình chóp theo hình là một tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{16}}{9}\).

\(\begin{array}{l}{\rm{V\`i  }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (SAB) \cap (\alpha )}\\{(\alpha )//AB,AB \subset (SAB)}\end{array} \Rightarrow (SAB) \cap (\alpha ) = MN{\rm{ v\^o \`u i }}MN//AB,N \in SB;} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (SAD) \cap (\alpha )}\\{(\alpha )//AD,AD \subset (SAD)}\end{array} \Rightarrow (SAD) \cap (\alpha ) = MQ{\rm{ v\^o \`u i }}MQ//AD,Q \in SD.} \right.\end{array}\)

Vì \(BC//AD//MQ\) và \(BC\not  \subset (\alpha ),MQ \subset (\alpha )\) nên \(BC//(\alpha )\).

Khi đó, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N \in (SBC) \cap (\alpha )}\\{(\alpha )//BC,BC \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow (SBC) \cap (\alpha ) = NP} \right.\) (với \(NP//BC,P \in SC\)).

Nối các đỉnh \(M,N,P,Q\) ta được một tứ giác.

Ta có: \(MN//AB,MQ//AD,NP//BC,PQ//CD\) nên theo định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{MQ}}{{AD}} = \frac{2}{3}{\rm{. }}\)

Suy ra \(MN = NP = PQ = MQ = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}\) (đáy hình của chóp là hình vuông cạnh 2).

Dễ thấy \(MNPQ\) là một hình vuông có cạnh bằng \(\frac{4}{3}\) nên có diện tích bằng \(\frac{{16}}{9}\) (đơn vị diện tích).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Sai; d) Đúng.