Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 5 \le 0\\0 \le x \le 3\\y \ge 0\end{array} \right.\]. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Bộ số (0; 0) là một nghiệm của hệ đã cho.

b) Bộ (2; 1) là một nghiệm của hệ đã cho.

c) Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên là một đa giác có diện tích bằng 6.

d) Xét tất cả các bộ số (x; y) thỏa mãn hệ trên thì giá trị lớn nhất của biểu thức 2x + y bằng 7.

Lời giải:

a) Đúng.

Kiểm tra từng bộ số với hệ bất phương trình.

Thay x = 0, y = 0 vào hệ bất phương trình, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 + 2 \cdot 0 - 5 \le 0\\0 \le 0 \le 3\\0 \ge 0\end{array} \right.\]

Hệ thức trên đúng. Vậy bộ số (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình .

b) Đúng.

Thay x = 2, y = 1 vào hệ bất phương trình, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 + 2 \cdot 1 - 5 \le 0\\0 \le 2 \le 3\\1 \ge 0\end{array} \right.\]

Hệ thức trên đúng. Vậy bộ số (2; 1) là nghiệm của hệ.

c) Sai.

Vẽ đồ thị các đường thẳng giới hạn miền nghiệm.

Đường thẳng x + 2y ‒ 5 = 0 đi qua hai điểm (5; 0) và (0; 2,5).

Đường thẳng x = 0 là trục tung.

Đường thẳng x = 3 là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoàng tại điểm (3; 0).

Đường thẳng y = 0 là trục hoành.

Xác định miền nghiệm

• Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng nằm bên dưới đường thẳng x + 2y ‒ 5 = 0, nằm giữa hai đường thẳng x = 0 và x = 3, và nằm phía trên đường thẳng y = 0.

• Miền nghiệm là một hình chữ nhật có chiều dài bằng 3 và chiều rộng bằng 2,5. Diện tích của miền nghiệm là 3.2,5 = 7,5.

d) Đúng.

Giá trị lớn nhất của biểu thức 2x + y đạt được tại điểm (3; 1) thuộc miền nghiệm. Giá trị lớn nhất là 2.3 + 1 = 7.