(1,0 điểm) Cho \(\Delta ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(AC.\) Trên đoạn \(BD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = 2ED.\) Điểm \(F\) thuộc tia đối của tia \(DE\) sao cho \(BF = 2BE\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(CF\) và \(G\) là giao điểm của \(EK\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \(G\) là trọng tâm tam giác \(EFC\).

b) Tính các tỉ số \(\frac{{GE}}{{GK}};\frac{{GC}}{{DC}}.\)

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác cho \(\Delta ABC\), ta được:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \), suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {50^\circ + 70^\circ } \right) = 60^\circ \).

Suy ra \(\widehat A < \widehat C < \widehat B\).

Vậy nên \(BC < AB < AC.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án: \(14\)

Ta có \(E\) là hình chiếu của \(B\) lên cạnh \(CD\), suy ra \(BE \bot CD\) tại \(E\) hay \(CE \bot BE\) tại \(E\).

Do đó, độ dài \(CE\) là khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) (1).

Hình vuông \(ABED\) có diện tích là \(7.7 = 49{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích hình thang \(ABCD\) là \(49.2 = 98{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).BE}}{2}\).

Mà \(AB = BE = 7{\rm{ cm; }}S = 98{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Suy ra, độ dài đáy lớn của hình thang \(ABCD\) là \(CD = \frac{{98.2}}{7} = 21{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Do \(E \in CD\) nên \(CD = CE + DE\).

Suy ra \(CE = CD - DE = 21 - 7 = 14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BE\) là \(14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).