Câu hỏi:

30/06/2025 14

(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(BD\). Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = BD\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là điểm trên \(BE\) sao cho \(BP = PQ = QE\). Chứng minh:

a) \(CP,CQ\) cắt \(AB,AE\) tại trung điểm của \(AB,AE\).

b) \(CP\parallel AQ\) và \(CQ\parallel AP.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

(1,0 điểm) Cho tam giác   A B C  , trung tuyến   B D  . Trên tia đối của tia   D B   lấy điểm   E   sao cho   D E = B D  . Gọi   P , Q   lần lượt là điểm trên   B E   sao cho   B P = P Q = Q E  . Chứng minh:  a)   C P , C Q   cắt   A B , A E   tại trung điểm của   A B , A E  .  b)   C P ∥ A Q   và   C Q ∥ A P . (ảnh 1)

a) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AE\).

Ta có: \(BP = PQ = QE\) và \(BD = DE\).

Mà \(BD = BP + PD;DE = QE + DQ\).

Suy ra \(PD = DQ\).

Hay \(D\) là trung điểm của \(PQ\).

Ta có: \(PD = \frac{1}{2}PQ\) hay \(PD = \frac{1}{2}BP\). Suy ra \(PD = \frac{1}{3}BD\)

Lại có \(BD\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(P\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(CP\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(M.\)

Tương tự ta có: \(QD = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}QE\) hay \(QD = \frac{1}{3}ED\).

Do đó, \(Q\) là trọng tâm của tam giác \(AEC\).

Suy ra \(CQ\) cắt \(AE\) tại trung điểm \(N\).

b) Xét \(\Delta ADP\) và \(\Delta CDQ\) có:

\(AD = DC\) (gt)

\(\widehat {ADP} = \widehat {CDQ}\) (đối đỉnh)

\(PD = DQ\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ADP = \Delta CDQ\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {DAP} = \widehat {DCQ}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(CQ\parallel AP.\)

Xét \(\Delta ADQ\) và \(\Delta CDP\) có:

\(AD = DC\) (gt)

\(\widehat {ADQ} = \widehat {CDP}\) (đối đỉnh)

\(PD = DQ\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ADQ = \Delta CDP\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {DAQ} = \widehat {DCP}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(CP\parallel AQ\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đb) Đc) Sd) Đ

Gọi \(x;y;z\) lần lượt là số áo khoác chị Linh mua gồm áo phông màu trắng, áo phông màu đen và áo phông màu xanh.

Điều kiện của \(x;y;z\) là \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\) và \(x,y,z < 111.\)

Phương trình biểu diễn tổng số áo chị Linh bán được là \(x + y + z = 111\).

Vì số tiền chị Linh bán được của mỗi loại áo phông là như nhau nên ta có tỉ lệ thức \(100x = 80y = 120z\) hay \(\frac{x}{{\frac{1}{{100}}}} = \frac{y}{{\frac{1}{{80}}}} = \frac{z}{{\frac{1}{{120}}}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{{\frac{1}{{100}}}} = \frac{y}{{\frac{1}{{80}}}} = \frac{z}{{\frac{1}{{120}}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{1}{{100}} + \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{120}}}} = \frac{{111}}{{\frac{{37}}{{1200}}}} = 3{\rm{ }}600\).

Suy ra \(x = \frac{1}{{100}}.3{\rm{ }}600 = 36;y = \frac{1}{{80}}.3{\rm{ }}600 = 45;z = \frac{1}{{120}}.3{\rm{ }}600 = 30\)

Vậy chị Linh bán số áo phông màu trắng, đen, xanh lần lượt là \(36\) áo, \(45\) áo và \(30\) áo.

Do đó, chị Linh bán số áo phông đen nhiều hơn số áo phông xanh là \(15\) chiếc áo.

Câu 2

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác   A B C   nhọn có hai đường trung tuyến   A M   và   B N   cắt nhau tại   O  . Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 1)

Tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường trung tuyến \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(O\) thì \(O\) là trọng tâm của tam giác.

Do đó, \(OA = \frac{2}{3}AM,{\rm{ }}OM = \frac{1}{3}AM,{\rm{ }}ON = \frac{1}{3}BN.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP