Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường trung tuyến \(AM\) và \(BN\) cắt nhau tại \(O\). Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng lần lượt là \(x;y{\rm{ }}\left( {x;y > 0} \right)\).

Theo đề bài, một thửa ruộng hình chữ nhật có hai cạnh tỉ lệ với \(3\) và \(5\) nên \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3}\).

Mà chiều dài hơn chiều rộng \(40{\rm{ m}}\) nên \(x - y = 40\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{{x - y}}{{5 - 3}} = \frac{{40}}{2} = 20\).

Suy ra \(x = 20.5 = 100{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) và \(y = 20.3 = 60{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích của thửa ruộng đó là: \(60.100 = 6{\rm{ }}000{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Theo đề, \(1{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) thu được số kilôgram thóc là: \(12:15 = 0,8{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Vậy cả thửa ruộng thu hoạch được số kilôgram thóc là: \(6{\rm{ }}000.0,8 = 4{\rm{ }}800{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AE\).

Ta có: \(BP = PQ = QE\) và \(BD = DE\).

Mà \(BD = BP + PD;DE = QE + DQ\).

Suy ra \(PD = DQ\).

Hay \(D\) là trung điểm của \(PQ\).

Ta có: \(PD = \frac{1}{2}PQ\) hay \(PD = \frac{1}{2}BP\). Suy ra \(PD = \frac{1}{3}BD\)

Lại có \(BD\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(P\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(CP\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(M.\)

Tương tự ta có: \(QD = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}QE\) hay \(QD = \frac{1}{3}ED\).

Do đó, \(Q\) là trọng tâm của tam giác \(AEC\).

Suy ra \(CQ\) cắt \(AE\) tại trung điểm \(N\).

b) Xét \(\Delta ADP\) và \(\Delta CDQ\) có:

\(AD = DC\) (gt)

\(\widehat {ADP} = \widehat {CDQ}\) (đối đỉnh)

\(PD = DQ\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ADP = \Delta CDQ\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {DAP} = \widehat {DCQ}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(CQ\parallel AP.\)

Xét \(\Delta ADQ\) và \(\Delta CDP\) có:

\(AD = DC\) (gt)

\(\widehat {ADQ} = \widehat {CDP}\) (đối đỉnh)

\(PD = DQ\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ADQ = \Delta CDP\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {DAQ} = \widehat {DCP}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(CP\parallel AQ\).