(1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(AC\). Trên đoạn \(BM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(MK = \frac{1}{2}KB\). Điểm \(H\) thuộc tia đối của tia \(MK\) sao cho \(BH = 2BK.\) Gọi \(I\) là điểm thuộc cạnh \(AC\) và \(IC = \frac{1}{3}CA\). Đường \(KI\) cắt \(HC\) ở \(E\).

a) Chứng minh \(I\) là trọng tâm của \(\Delta HKC\) và \(E\) là trung điểm của \(HC.\)

b) Tính các tỉ số \(\frac{{IE}}{{IK}};\frac{{MI}}{{AC}}\).

Bác Cường mua \(39\) mớ rau gồm ba loại: rau muống giá \(6\) nghìn đồng một mớ, rau cải giá \(8\) nghìn đồng một mớ, rau đay giá \(4\) nghìn đồng một mớ. Biết rằng số tiền bác Cường mua mỗi loại rau là như nhau. Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số mớ rau bác Cường mua gồm rau muống, rau cải và rau đay.

a) Điều kiện của \(x,y,z\) là \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\) và \(x,y,z < 39.\)

b) Phương trình biểu diễn tổng số rau bác Cường mua là \(x + y + z = 39\).

c) Số tiền bác Cường mua mỗi loại rau là như nhau nên ta có tỉ lệ thức \(\frac{x}{6} = \frac{y}{8} = \frac{z}{4}.\)

d) Loại rau bác Cường mua nhiều nhất là rau đay với \(12\) mớ.

Một trại chăn nuôi gồm gà, vịt và heo. Biết số con gà, vịt và heo lần lượt tỉ lệ với \(6;5;4\) và tổng số con là \(150\) con. Hỏi trại chăn nuôi có bao nhiêu con heo?

Trả lời:

Cho \(G\) là giao của hai trung tuyến \(BM\) và \(CN\) của tam giác \(ABC\) trong hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho tam giác \(\Delta ABC\) và \(M\) là một điểm nằm trong tam giác. Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(BM\) và cạnh \(AC\).

a) \(MA < MI + IA.\)

b) \(MA + MB < IA + IB.\)

c) \(IA + IB < CA + CB.\)

d) \(MA + MB < CA + CB.\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) \(\left( {D \in BC} \right)\). Kẻ \(DF \bot AC\) tại \(F\). Hỏi khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AC\) bằng bao nhiêu centimet? Biết rằng \(BD = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Trả lời:

Biểu thức biểu thị quãng đường Dung đi được trong \(x\) giờ với vận tốc \(40{\rm{ km/h}}\) là

(1,0 điểm) Cho hai đa thức:

\(F\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 2{x^3} - 4 + 4x - 2{x^3} - 1\) và \(G\left( x \right) = 13 - 12{x^3} + 1 - x + 12{x^3} + {x^2} + 3x\).

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo chiều giảm dần lũy thừa của biến.

b) Biết rằng \(H\left( x \right) + F\left( x \right) = G\left( x \right)\). Tính \(H\left( {\frac{1}{2}} \right)\).