(3,0 điểm)

3.1. Cho đa thức \(A\left( x \right) = 3{x^2} - 4{x^4} - 5x + 9 + 6{x^4} + 2{x^3} - 5\).

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Chỉ ra hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của đa thức \(A\left( x \right)\).

c) Tính giá trị \(A\left( { - 1} \right),A\left( 0 \right),A\left( 2 \right)\).

d) Tìm đa thức \(B\left( x \right),\) biết \(B\left( x \right) - 3{x^2} + 2{x^4} - {x^3} = A\left( x \right)\).

3.2. Tính giá trị của đa thức \(R\left( x \right) = {x^{10}} - 13{x^9} + 13{x^8} - 13{x^7} + ... + 13{x^2} - 13x + 10\) tại \(x = 12\).

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

\(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\), có:

\(\widehat B = \widehat E = 90^\circ \)(gt)

\(AD\): chung (gt)

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = ED\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BD = 2{\rm{ cm}}\) nên \(ED = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AC\) là \(2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

4.2.

Vì tam giác cân nên sẽ có các trường hợp về độ dài ba cạnh như sau.

TH1. \(4{\rm{ cm, 4 cm, 8 cm}}\). Xét thấy \(4{\rm{ cm + 4 cm = 8 cm}}\) nên không thể xảy ra trường hợp này.

TH2. \(4{\rm{ cm, 8 cm, 8 cm}}\). Nhận thấy \(4{\rm{ cm }} + {\rm{ 8 cm}} > {\rm{8 cm}}\) nên thỏa mãn điều kiện về ba cạnh của tam giác.

Do đó, chu vi của tam giác là \(4 + 8 + 8 = 20{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\) hay \(a + b = - c;{\rm{ }}a + c = - b;{\rm{ }}b + c = - a\).

Thay vào biểu thức \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}\), ta được: \(S = \frac{{ - a.\left( { - b} \right).\left( { - c} \right)}}{{abc}} = \frac{{ - abc}}{{abc}} = - 1.\)

Trường hợp 2. \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}}\)\( = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\).

Suy ra \(a + b - c = a;{\rm{ }}a + c - b = b;{\rm{ }}b + c - a = a\).

Do đó, \(a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a\).

Thay \(a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a\) vào biểu thức \(S\), ta được:

\(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}} = \frac{{2a.2b.2c}}{{abc}} = 8\).

Vậy \(S = - 1\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\), \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\).

Và \(S = 8\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\), \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).