Câu hỏi:

30/06/2025 30 Lưu

(0,5 điểm) Cho \(a,b,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\). Tính giá trị của biểu thức \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}.\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\) hay \(a + b = - c;{\rm{ }}a + c = - b;{\rm{ }}b + c = - a\).

Thay vào biểu thức \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}\), ta được: \(S = \frac{{ - a.\left( { - b} \right).\left( { - c} \right)}}{{abc}} = \frac{{ - abc}}{{abc}} = - 1.\)

Trường hợp 2. \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}}\)\( = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\).

Suy ra \(a + b - c = a;{\rm{ }}a + c - b = b;{\rm{ }}b + c - a = a\).

Do đó, \(a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a\).

Thay \(a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a\) vào biểu thức \(S\), ta được:

\(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}} = \frac{{2a.2b.2c}}{{abc}} = 8\).

Vậy \(S = - 1\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\), \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\).

Và \(S = 8\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\), \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

4.1.

(1,5 điểm)  4.1. Cho tam giác   A B C   vuông tại   B   có   A D   là tia phân giác của   ˆ B A C     ( D ∈ B C )  . Kẻ   D F ⊥ A C   tại   F  . Hỏi khoảng cách từ   D   đến đường thẳng   A C   bằng bao nhiêu centimet? Biết rằng   B D = 2 c m .    4.2. Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh bằng   4 c m   và   8 c m  . (ảnh 1)

Xét

\(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\), có:

\(\widehat B = \widehat E = 90^\circ \)(gt)

\(AD\): chung (gt)

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = ED\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BD = 2{\rm{ cm}}\) nên \(ED = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AC\) là \(2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

4.2.

Vì tam giác cân nên sẽ có các trường hợp về độ dài ba cạnh như sau.

TH1. \(4{\rm{ cm, 4 cm, 8 cm}}\). Xét thấy \(4{\rm{ cm + 4 cm = 8 cm}}\) nên không thể xảy ra trường hợp này.

TH2. \(4{\rm{ cm, 8 cm, 8 cm}}\). Nhận thấy \(4{\rm{ cm }} + {\rm{ 8 cm}} > {\rm{8 cm}}\) nên thỏa mãn điều kiện về ba cạnh của tam giác.

Do đó, chu vi của tam giác là \(4 + 8 + 8 = 20{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Lời giải

Hướng dẫn giải

(1,5 điểm) Cho tam giác   A B C  , trung tuyến   B D  . Trên tia đối của tia   D B   lấy điểm   E   sao cho   D E = B D  . Gọi   P , Q   lần lượt là điểm trên   B E   sao cho   B P = P Q = Q E  . Chứng minh:  a)   C P , C Q   cắt   A B , A E   tại trung điểm của   A B , A E  .  b)   C P ∥ A Q   và   C Q ∥ A P . (ảnh 1)

a) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AE\).

Ta có: \(BP = PQ = QE\) và \(BD = DE\).

Mà \(BD = BP + PD;DE = QE + DQ\).

Suy ra \(PD = DQ\).

Hay \(D\) là trung điểm của \(PQ\).

Ta có: \(PD = \frac{1}{2}PQ\) hay \(PD = \frac{1}{2}BP\). Suy ra \(PD = \frac{1}{3}BD\)

Lại có \(BD\) là trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(P\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó, \(CP\) cắt \(AB\) tại trung điểm \(M.\)

Tương tự ta có: \(QD = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}QE\) hay \(QD = \frac{1}{3}ED\).

Do đó, \(Q\) là trọng tâm của tam giác \(AEC\).

Suy ra \(CQ\) cắt \(AE\) tại trung điểm \(N\).

b) Xét \(\Delta ADP\) và \(\Delta CDQ\) có:

\(AD = DC\) (gt)

\(\widehat {ADP} = \widehat {CDQ}\) (đối đỉnh)

\(PD = DQ\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ADP = \Delta CDQ\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {DAP} = \widehat {DCQ}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(CQ\parallel AP.\)

Xét \(\Delta ADQ\) và \(\Delta CDP\) có:

\(AD = DC\) (gt)

\(\widehat {ADQ} = \widehat {CDP}\) (đối đỉnh)

\(PD = DQ\) (cmt)

Suy ra \(\Delta ADQ = \Delta CDP\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {DAQ} = \widehat {DCP}\) (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(CP\parallel AQ\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP