(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\), trung tuyến \(BD\). Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = BD\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là điểm trên \(BE\) sao cho \(BP = PQ = QE\). Chứng minh:

a) \(CP,CQ\) cắt \(AB,AE\) tại trung điểm của \(AB,AE\).

b) \(CP\parallel AQ\) và \(CQ\parallel AP.\)

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

\(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\), có:

\(\widehat B = \widehat E = 90^\circ \)(gt)

\(AD\): chung (gt)

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta AED\) (g.c.g)

Suy ra \(BD = ED\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(BD = 2{\rm{ cm}}\) nên \(ED = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(AC\) là \(2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

4.2.

Vì tam giác cân nên sẽ có các trường hợp về độ dài ba cạnh như sau.

TH1. \(4{\rm{ cm, 4 cm, 8 cm}}\). Xét thấy \(4{\rm{ cm + 4 cm = 8 cm}}\) nên không thể xảy ra trường hợp này.

TH2. \(4{\rm{ cm, 8 cm, 8 cm}}\). Nhận thấy \(4{\rm{ cm }} + {\rm{ 8 cm}} > {\rm{8 cm}}\) nên thỏa mãn điều kiện về ba cạnh của tam giác.

Do đó, chu vi của tam giác là \(4 + 8 + 8 = 20{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\) hay \(a + b = - c;{\rm{ }}a + c = - b;{\rm{ }}b + c = - a\).

Thay vào biểu thức \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}\), ta được: \(S = \frac{{ - a.\left( { - b} \right).\left( { - c} \right)}}{{abc}} = \frac{{ - abc}}{{abc}} = - 1.\)

Trường hợp 2. \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}}\)\( = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\).

Suy ra \(a + b - c = a;{\rm{ }}a + c - b = b;{\rm{ }}b + c - a = a\).

Do đó, \(a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a\).

Thay \(a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a\) vào biểu thức \(S\), ta được:

\(S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}} = \frac{{2a.2b.2c}}{{abc}} = 8\).

Vậy \(S = - 1\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\), \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0\).

Và \(S = 8\) khi \(\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}\), \(a,b,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0\).