Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho các điểm \[A\left( { - 1\,;\,\, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;3} \right),{\rm{ }}C\left( {5;6\,} \right),{\rm{ }}D\left( {1\,;\,\,2} \right).\] Đường thẳng \[ - 4x + 3y = 1\] đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh trường A là \(x\) (học sinh).

Gọi số học sinh trường B là \(y\) (học sinh) \(\left( {0 < x,y < 500} \right)\).

Theo đề bài, cả hai trường có tổng cộng 500 học sinh, suy ra \(x + y = 500 & \left( 1 \right)\).

Kết quả có 420 học sinh trúng tuyển trong đó có 80% học sinh trường A và \[90\% \] học sinh trường B nên ta có: \(80\% x + 90\% y = 420\) hay \(0,8x + 0,9y = 420 & \left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\0,8x + 0,9y = 420\end{array} \right.\).

Từ phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có \(x + y = 500\) hay \(x = 500 - y\). Thế vào phương trình thứ (2), ta được \(0,8\left( {500 - y} \right) + 0,9y = 420\), tức là \(400 + 0,1y = 420\) suy ra \(y = 200\) (thỏa mãn).

Khi đó, \(x = 500 - 200 = 300\) (thỏa mãn).

Vậy số học sinh trường A là 300 học sinh, số học sinh trường B là 200 học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x + 5y = 8\] suy ra \(x = 4 - \frac{5}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[2\left( {4 - \frac{5}{2}y} \right) - 3y = 0\], tức là \[8 - 8y = 0\], suy ra \[8y = 8\] hay \[y = 1\].

Từ đó \[x = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {\frac{3}{2}\,;\,\,1} \right).\]

b) Từ phương trình thứ nhất ta có \[2x - 3y = 7\] suy ra \(x = \frac{7}{2} + \frac{3}{2}y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

\[3\left( {\frac{7}{2} + \frac{3}{2}y} \right) + 2y = 4\], tức là \[\frac{{21}}{2} + \frac{{13}}{2}y = 4\], suy ra \[\frac{{13}}{2}y = - \frac{{13}}{2}\] hay \[y = - 1\].

Từ đó \[x = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \cdot \left( { - 1} \right) = 2.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {2\,; - \,1} \right).\]