Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Khi đó \(\sin \widehat {HAC}\) bằng

1. a) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)

\(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)

\(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)

\(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\).

1. b) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\)

\(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\)

\(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 3x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 2x = 0\)

\(x\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

\(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\).

2. a) \(\frac{{3 - 2x}}{2} > 4\)

\(\frac{{3 - 2x}}{2} \cdot 2 > 4 \cdot 2\)

\(3 - 2x > 8\)

\( - 2x > 5\)

\(x < - \frac{5}{2}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x < - \frac{5}{2}\).

2. b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < {\left( {x + 2} \right)^2} + 3\)

\({x^2} - 9 < {x^2} + 4x + 4 + 3\)

\({x^2} - {x^2} - 4x < 4 + 3 + 9\)

\[ - 4x < 16\]

\[x > - 4\].

2. c) \[\frac{{4x - 1}}{2} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{9x - 11}}{3}\]

\[\frac{{3\left( {4x - 1} \right)}}{6} + \frac{{6x - 19}}{6} \ge \frac{{2\left( {9x - 11} \right)}}{6}\]

\[3\left( {4x - 1} \right) + 6x - 19 \ge 2\left( {9x - 11} \right)\]

\[12x - 3 + 6x - 19 \ge 18x - 22\]

\[12x + 6x - 18x \ge - 22 + 3 + 19\]

\[0x \ge 0\].

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \in \mathbb{R}.\)