Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, các mặt bên (SAB), (SAD) nằm trong các mặt phẳng vuông góc với (ABCD), biết SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Khi đó:

a) SA ^ (ABCD).

b) (SAC) ^ (ABCD).

c) d(M, (ABCD)) = 2a.

d) \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\).

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Vì SA ^ (ABCD) mà SA Ì (SAC) Þ (SAC) ^ (ABCD).

c) Kẻ MK // SA, K Î AD Þ MK ^ (ABCD).

Suy ra \(d\left( {M,ABCD} \right) = MK = \frac{1}{2}SA = a\) (vì MK là đường trung bình của DSAD).

d) Ta có BD ^ AC và BD ^ SA  Þ BD ^ (SAC) Þ BD ^ SC.

Gọi O = AC Ç BD. Dựng OH ^ SC tại H.

Vì BD ^ (SAC) mà OH Ì (SAC) Þ BD ^ OH.

Lại có OH ^ SC và OH ^ BD nên OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Kẻ AP // OH, P Î SC.

Xét tam giác OHC vuông tại H có OH là đường trung bình nên \(OH = \frac{1}{2}AP\).

Mà \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}}\) \( \Rightarrow AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \(d\left( {BD,SC} \right) = OH = \frac{1}{2}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.