Biết \(\vec F = {e^{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left[ {(2{x^2}yz + yz)\vec i + (2{y^2}xz + xz)\vec j + (2{z^2}yx + xy)\vec k} \right]\) là trường thế. Tìm hàm thế vị.

Tính thông lượng của trường vecto \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua \(S\) là biên ngoài của miền \(V\): \(|x - y| \le 1,|y - z| \le 1,|z + x| \le 1\)

Tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\)

Cho \(u(x,y,z) = {x^3} + 3y{x^2} + 2y{z^2}\). Tính \(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A)\) với \(\vec n\) là vecto pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3,z \le 0\) tại điểm \(A(1,1, - 1)\)

Biết nhiệt độ tại điểm \((x,y,z)\) trong không gian được cho bởi hàm

\(T(x,y,z) = \frac{{80}}{{1 + {x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}\) ở đó \(T\) có đơn vị là \(^oC\) và x, y, z là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm \(A(1,1, - 2)\)

Tính thông lượng của \(\vec F = x\vec i + ({y^3} + 2z)\vec j + (3{x^2}z - x)\vec k\) qua mặt cầu \(S:{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) hướng ra ngoài.

Cho điểm \(A(2, - 1,0),B(1,1,3)\). Tính đạo hàm của hàm \(u = {x^3} + 3{y^2} + {e^z} + xy{z^2}\) tại điểm \(A\) theo hướng \(\overrightarrow {AB} \)

Tính góc giữa \(\overrightarrow {grad} u,u = \frac{x}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) tại điểm \(A(1,2,2)\) và \(B( - 3,1,0)\)