Tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\)

Tính thông lượng của trường vecto \(\vec F = 2{x^2}\vec i + {y^2}\vec j - {z^2}\vec k\) qua \(S\) là mặt ngoài của miền giới hạn bởi \(y = 0,y = \sqrt {1 - {z^2}} ,x = 0,x = 2\)

Tính thông lượng của trường vecto \(\vec F = {x^3}\vec i + {y^2}\vec j + \frac{{{z^2}}}{2}\vec k\) qua \(S\) là biên ngoài của miền \(V\): \(|x - y| \le 1,|y - z| \le 1,|z + x| \le 1\)

Cho \(u(x,y,z) = {x^3} + 3y{x^2} + 2y{z^2}\). Tính \(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A)\) với \(\vec n\) là vecto pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3,z \le 0\) tại điểm \(A(1,1, - 1)\)

Tính lưu số của \(\vec F = ({y^2} + {z^2})\vec i + ({x^2} + {z^2})\vec j + ({x^2} + {y^2})\vec k\) dọc theo đường cong \(C\) trong đó \(C\) là giao của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và mặt nón có phương trình \(z = - \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \) với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc \(O\).

Tính góc giữa \(\overrightarrow {grad} u,u = \frac{x}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) tại điểm \(A(1,2,2)\) và \(B( - 3,1,0)\)

Cho \(\vec F = {x^2}yz\vec i + 3x{y^2}z\vec j + mxy{z^2}\vec k\) với \(m\) là tham số thực. Tìm \(m\) để \(\vec F\) là trường ống.