Tính lưu số của \(\vec F = ({y^2} + {z^2})\vec i + ({x^2} + {z^2})\vec j + ({x^2} + {y^2})\vec k\) dọc theo đường cong \(C\) trong đó \(C\) là giao của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và mặt nón có phương trình \(z = - \sqrt {{x^2} + {{(y - 1)}^2}} \) với hướng cùng chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc \(O\).

Tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\)

Biết nhiệt độ tại điểm \((x,y,z)\) trong không gian được cho bởi hàm

\(T(x,y,z) = \frac{{80}}{{1 + {x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}\) ở đó \(T\) có đơn vị là \(^oC\) và x, y, z là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm \(A(1,1, - 2)\)

Tính thông lượng của \(\vec F = x\vec i + ({y^3} + 2z)\vec j + (3{x^2}z - x)\vec k\) qua mặt cầu \(S:{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) hướng ra ngoài.

Tính lưu số của \(\vec F = {x^2}{y^3}\vec i + \vec j + z\vec k\) dọc theo đường tròn có phương trình

C: \({x^2} + {y^2} = 1,z = 0\) giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \)

Cho \(u(x,y,z) = {x^3} + 3y{x^2} + 2y{z^2}\). Tính \(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A)\) với \(\vec n\) là vecto pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3,z \le 0\) tại điểm \(A(1,1, - 1)\)

Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {grad} z\) (đơn vị: radian) của các trường vô hướng sau \({z_1} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,{z_2} = x - 3y + \sqrt {3xy} \) tại \(M(3,4)\) (Chọn đáp án gần đúng nhất)

Cho \(\vec F = {x^2}yz\vec i + 3x{y^2}z\vec j + mxy{z^2}\vec k\) với \(m\) là tham số thực. Tìm \(m\) để \(\vec F\) là trường ống.