Một cái bục hình lăng trụ đứng đáy là hình thang vuông có kích thước như hình vẽ dưới đây. Người ta muốn sơn tất cả các mặt của cái bục. Biết rằng \(1{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\) sơn hết \(0,5\) lít sơn và tiền công \(250{\rm{ }}000\) đồng/m².

a) Diện tích xung quanh của bục là \(264{\rm{ d}}{{\rm{m}}^2}.\)

b) Diện tích hai đáy của bục là \(26{\rm{ d}}{{\rm{m}}^2}.\)

c) Để sơn hết cái bục cần hơn \(1,5\) lít sơn.

d) Cần phải trả hơn \(800{\rm{ }}000\) đồng tiền công sơn bục.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

\(3A = \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right)\)

\(3A + A = \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}} \right)\)

\(3A + A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

\(4A = \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

Đặt \(B = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}\)

\(3B = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} - \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{97}}}} - \frac{1}{{{3^{98}}}}\)

\(3B + B = 3 - \frac{1}{{{3^{99}}}}\)

\(4B = 3 - \frac{1}{{{3^{99}}}} < 3\) suy ra \(B < \frac{3}{4}.\)

Từ đây, suy ra \(4A = B - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\) nên \(4A < \frac{3}{4}\), do đó \(A < \frac{3}{{16}}\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

a) Vì \(Ax\parallel yy'\) nên \(\widehat {xAB} = \widehat {ABy} = 30^\circ \) (so le trong).

b) Ta có \(Ax\parallel Cz\) mà \(Ax\parallel yy'\) nên \(yy'\parallel Cz\).

Vì \(Ax\parallel yy'\) nên \(\widehat {BAx} = \widehat {ABy} = 30^\circ \)(so le trong)

Vì \(yy'\parallel Cz\) nên \(\widehat {zCB} = \widehat {CBy'} = 120^\circ \) (so le trong)

Ta có: \(\widehat {CBy'}\) và \(\widehat {CBy}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {CBy'} + \widehat {CBy} = 180^\circ \).

hay \(\widehat {CBy} = 180^\circ - \widehat {CBy'} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ .\)

Lại có \(\widehat {CBy}\) và \(\widehat {ABy}\) là hai góc kề nhau nên \(\widehat {CBy} + \widehat {ABy} = \widehat {ABC}\).

Do đó, \(\widehat {ABC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).

c)

Vì tia \(Ct\) là tia phân giác của \(\widehat {BCz}\) nên \(\widehat {BCD} = \widehat {DCE} = \widehat {\frac{{BCz}}{2}} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do \(yy'\parallel Cz\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {CDB} = 60^\circ \) (so le trong)

Mà \(\widehat {CDB}\) và \(\widehat {CDy}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {CDy} + \widehat {CDB} = 180^\circ \) hay \(\widehat {CDy} + 60^\circ = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CDy} = 180^\circ - \widehat {CDB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vì tia \(Dm\) là tia phân giác \(\widehat {CDy}\) nên \(\widehat {EDC} = \widehat {\frac{{CDy}}{2}} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ .\)

Vậy \(\widehat {EDC} = 60^\circ .\)