(0,5 điểm) Cho \(A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\). Chứng minh \(A < \frac{3}{{16}}.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có: \(A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)
\(3A = \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right)\)
\(3A + A = \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}} \right)\)
\(3A + A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)
\(4A = \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)
Đặt \(B = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}\)
\(3B = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} - \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{97}}}} - \frac{1}{{{3^{98}}}}\)
\(3B + B = 3 - \frac{1}{{{3^{99}}}}\)
\(4B = 3 - \frac{1}{{{3^{99}}}} < 3\) suy ra \(B < \frac{3}{4}.\)
Từ đây, suy ra \(4A = B - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\) nên \(4A < \frac{3}{4}\), do đó \(A < \frac{3}{{16}}\) (đpcm).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đ b) S c) Đ c) S
• Diện tích xung quanh của bục là: \(\left( {5 + 8 + 5 + 4} \right).12 = 264\) (dm2).
Do đó, ý a) là đúng.
• Diện tích hai đáy của bục là: \(2.\frac{{\left( {5 + 8} \right).4}}{2} = 52\) (dm2).
Do đó, ý b) là sai.
• Diện tích tất cả các mặt của bục là: \(264 + 52 = 316{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Đổi \(316{\rm{ d}}{{\rm{m}}^2} = 3,16{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
Lượng sơn cần để sơn tất cả các mặt của bục là: \(3,16.0,5 = 1,58\) (lít).
Do đó, ý c) là đúng.
• Số tiền công sơn bục cần trả là: \(250{\rm{ }}000.3,16 = 790{\rm{ }}000\) (đồng).
Do đó, ý d) là sai.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đ b) Đ c) S d) S
• Sau một năm, số tiền lãi ông Phú nhận được là: \(100.5\% = 5\) (triệu đồng).
Do đó, ý a) là đúng.
• Hết thời hạn một năm, số tiền ông Phú gửi lại ngân hàng là: \(100 + 5 = 105\) (triệu đồng).
Do đó, ý b) là đúng.
• Sau năm thứ hai, số tiền lãi ông Phú nhận được là: \(105.5\% = 5,25\) (triệu đồng)
Do đó, ý c) là sai.
• Sau năm thứ hai, tổng số tiền ông Phú nhận được là: \(105 + 5,25 = 110,25\) (triều đồng).
Do đó, ý d) là sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.