B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)

(1,0 điểm) Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ, ba khối 6, 7, 8 có \(130\) học sinh tham gia. Mỗi học sinh khối 6 thu được \({\rm{2 kg}}\) giấy vụn, mỗi học sinh khối 7 thu được \(3{\rm{ kg}}\) giấy vụn, mỗi học sinh khối 8 thu được \(4{\rm{ kg}}\) giấy vụn. Hãy tính số học sinh của mỗi khối tham gia phong trào biết số giấy vụn của ba khối đều bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

\(3A = \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right)\)

\(3A + A = \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{3}{{{3^2}}} - \frac{4}{{{3^3}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{98}}}} - \frac{{100}}{{{3^{99}}}}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{{{3^2}}} + \frac{3}{{{3^3}}} - \frac{4}{{{3^4}}} + ... + \frac{{99}}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}} \right)\)

\(3A + A = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}} - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

\(4A = \left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}} \right) - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\)

Đặt \(B = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{3^3}}} + ... + \frac{1}{{{3^{98}}}} - \frac{1}{{{3^{99}}}}\)

\(3B = 3 - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^3}}} - \frac{1}{{{3^4}}} + ... + \frac{1}{{{3^{97}}}} - \frac{1}{{{3^{98}}}}\)

\(3B + B = 3 - \frac{1}{{{3^{99}}}}\)

\(4B = 3 - \frac{1}{{{3^{99}}}} < 3\) suy ra \(B < \frac{3}{4}.\)

Từ đây, suy ra \(4A = B - \frac{{100}}{{{3^{100}}}}\) nên \(4A < \frac{3}{4}\), do đó \(A < \frac{3}{{16}}\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

a) Vì \(Ax\parallel yy'\) nên \(\widehat {xAB} = \widehat {ABy} = 30^\circ \) (so le trong).

b) Ta có \(Ax\parallel Cz\) mà \(Ax\parallel yy'\) nên \(yy'\parallel Cz\).

Vì \(Ax\parallel yy'\) nên \(\widehat {BAx} = \widehat {ABy} = 30^\circ \)(so le trong)

Vì \(yy'\parallel Cz\) nên \(\widehat {zCB} = \widehat {CBy'} = 120^\circ \) (so le trong)

Ta có: \(\widehat {CBy'}\) và \(\widehat {CBy}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {CBy'} + \widehat {CBy} = 180^\circ \).

hay \(\widehat {CBy} = 180^\circ - \widehat {CBy'} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ .\)

Lại có \(\widehat {CBy}\) và \(\widehat {ABy}\) là hai góc kề nhau nên \(\widehat {CBy} + \widehat {ABy} = \widehat {ABC}\).

Do đó, \(\widehat {ABC} = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ \).

c)

Vì tia \(Ct\) là tia phân giác của \(\widehat {BCz}\) nên \(\widehat {BCD} = \widehat {DCE} = \widehat {\frac{{BCz}}{2}} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \).

Do \(yy'\parallel Cz\) nên \(\widehat {DCE} = \widehat {CDB} = 60^\circ \) (so le trong)

Mà \(\widehat {CDB}\) và \(\widehat {CDy}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {CDy} + \widehat {CDB} = 180^\circ \) hay \(\widehat {CDy} + 60^\circ = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CDy} = 180^\circ - \widehat {CDB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Vì tia \(Dm\) là tia phân giác \(\widehat {CDy}\) nên \(\widehat {EDC} = \widehat {\frac{{CDy}}{2}} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ .\)

Vậy \(\widehat {EDC} = 60^\circ .\)