Câu hỏi:

27/07/2025 35 Lưu

Một vật chuyển động với vận tốc \(10\,{\rm{m/s}}\) thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là \(a\left( t \right) = {t^2} + 3t\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(6\) giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

Trả lời:……………………………..

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Ta có \(v\left( 0 \right) = 10\,{\rm{m/s}}\) và \(v\left( t \right) = \int\limits_0^t {a\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^t {\left( {{t^2} + 3t} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{3{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^t\]\[ = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}\].

Quãng đường vật đi được là \(S = \int\limits_0^6 {v\left( t \right){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^6 {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{3}{2}{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\[ = \left. {\left( {\frac{1}{{12}}{t^4} + \frac{1}{2}{t^3}} \right)} \right|_0^6\]\[ = 216\,{\rm{m}}\].

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

- Tại thời điểm \(t = 6\)vật đang chuyển động với vận tốc \({v_0}\) nên có \(v(6) = {v_0}\)\( \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}.6 + a\,\, = {v_0} \Leftrightarrow a\,\, = {v_0} + 15\), suy ra \(v(t) =  - \frac{5}{2}t + {v_0} + 15\).

- Gọi \(k\)là thời điểm vật dừng hẳn, vậy ta có \(v(k) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}.\left( {{v_0} + 15} \right) \Leftrightarrow k = \frac{{2{v_0}}}{5} + 6\).

- Tổng quãng đường vật đi được là \[80 = 6.{v_0} + \int\limits_6^k {\left( { - \frac{5}{2}t + {v_0} + 15} \right)dt} \]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} + \left. {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + {v_0}.t + 15t} \right)} \right|_6^k\\ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} - \frac{5}{4}({k^2} - {6^2}) + {v_0}.(k - 6) + 15(k - 6)\\ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} - \frac{5}{4}\left( {\frac{{4{{\left( {{v_0}} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{24{v_0}}}{5}} \right) + {v_0}.\frac{{2{v_0}}}{5} + 15.\frac{{2{v_0}}}{5}\\ \Leftrightarrow {\left( {{v_0}} \right)^2} + 36.{v_0} - 400 = 0\\ \Leftrightarrow {v_0} = 10\end{array}\]

Lời giải

Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ \( \Rightarrow S = \int\limits_0^{1,5} {v(t){\rm{d}}t} \).

Đồ thị \[v = v(t)\] đi qua gốc tọa độ nên \[v(t)\] có dạng \[v(t) = a{t^2} + bt\].

Đồ thị \[v = v(t)\] có đỉnh là I(1;5) nên \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 5\\b = 10\end{array} \right. \Rightarrow v(t) =  - 5{t^2} + 10t\]

\(S = \int\limits_0^{1,5} {\left( { - 5{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{45}}{8} \approx 5,63\).