Câu hỏi:

27/07/2025 27 Lưu

Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v(t) = \frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t\,\left( {m/s} \right)\), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(5\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\,\left( {m/{s^2}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(10\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng

Trả lời:……………………………..

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Thời gian tính từ khi \(A\) xuất phát đến khi bị \(B\) đuổi kịp là \(15\) giây, suy ra quãng đường đi được tới lúc đó là \(\int\limits_0^{15} {v(t){\rm{d}}t} \)\( = \int\limits_0^{15} {\left( {\frac{1}{{180}}{t^2} + \frac{{11}}{{18}}t} \right){\rm{d}}t} \)\( = \left. {\left( {\frac{1}{{540}}{t^3} + \frac{{11}}{{36}}{t^2}} \right)} \right|_0^{15}\)\( = 75\,\left( m \right)\).

Vận tốc của chất điểm \(B\) là \(y\left( t \right) = \int {a.{\rm{d}}t} \)\( = a.t + C\) (\(C\) là hằng số); do \(B\) xuất phát từ trạng thái nghỉ nên có \(y\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow C = 0\);

Quãng đường của \(B\) từ khi xuất phát đến khi đuổi kịp \(A\) là

\(\int\limits_0^{10} {y(t){\rm{d}}t}  = 75\)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^{10} {a.t{\rm{d}}t}  = 75\)\( \Leftrightarrow \left. {\frac{{a.{t^2}}}{2}} \right|_0^{10} = 75\)\( \Leftrightarrow 50a = 75\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\)

Vậy có \(y\left( t \right) = \frac{{3t}}{2}\); suy ra vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \(y\left( {10} \right) = 15\,\left( {m/s} \right)\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

- Tại thời điểm \(t = 6\)vật đang chuyển động với vận tốc \({v_0}\) nên có \(v(6) = {v_0}\)\( \Leftrightarrow  - \frac{5}{2}.6 + a\,\, = {v_0} \Leftrightarrow a\,\, = {v_0} + 15\), suy ra \(v(t) =  - \frac{5}{2}t + {v_0} + 15\).

- Gọi \(k\)là thời điểm vật dừng hẳn, vậy ta có \(v(k) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}.\left( {{v_0} + 15} \right) \Leftrightarrow k = \frac{{2{v_0}}}{5} + 6\).

- Tổng quãng đường vật đi được là \[80 = 6.{v_0} + \int\limits_6^k {\left( { - \frac{5}{2}t + {v_0} + 15} \right)dt} \]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} + \left. {\left( { - \frac{5}{4}{t^2} + {v_0}.t + 15t} \right)} \right|_6^k\\ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} - \frac{5}{4}({k^2} - {6^2}) + {v_0}.(k - 6) + 15(k - 6)\\ \Leftrightarrow 80 = 6.{v_0} - \frac{5}{4}\left( {\frac{{4{{\left( {{v_0}} \right)}^2}}}{{25}} + \frac{{24{v_0}}}{5}} \right) + {v_0}.\frac{{2{v_0}}}{5} + 15.\frac{{2{v_0}}}{5}\\ \Leftrightarrow {\left( {{v_0}} \right)^2} + 36.{v_0} - 400 = 0\\ \Leftrightarrow {v_0} = 10\end{array}\]

Lời giải

Ta có 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ \( \Rightarrow S = \int\limits_0^{1,5} {v(t){\rm{d}}t} \).

Đồ thị \[v = v(t)\] đi qua gốc tọa độ nên \[v(t)\] có dạng \[v(t) = a{t^2} + bt\].

Đồ thị \[v = v(t)\] có đỉnh là I(1;5) nên \[\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 5\\b = 10\end{array} \right. \Rightarrow v(t) =  - 5{t^2} + 10t\]

\(S = \int\limits_0^{1,5} {\left( { - 5{t^2} + 10t} \right){\rm{d}}t}  = \frac{{45}}{8} \approx 5,63\).