Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f\left( t \right) = 35{t^2} - \frac{5}{3}{t^3}\) (kết quả khảo sát trong 12 tháng liên tục). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất bằng bao nhiêu người một ngày?

Ta có f'(x) = 4x³ + 4x.

Để f'(x) > 0 Û 4x³ + 4x > 0 Û 4x(x² + 1) > 0 Û 4x > 0 Û x > 0.

a) Từ phương trình tiếp tuyến D ta có f'(2) = 3.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ bằng 2 là

y = f'(2)(x – 2) + f(2) hay y = f'(2).x + f(2) – 2f'(2).

Đồng nhất hệ số, ta có f(2) = −3 + 2f'(2) = 3.

c) Theo quy tắc đạo hàm ta có g'(x) =2xf(x) + x²f'(x).

d) Ta có g'(2) = 4f(2) + 4f'(2) = 24 và g(2) = 4f(2) = 12.

Suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình

y = g'(2)(x – 2) + g(2) hay y = 24x – 36.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.