Trong không gian, cho hình chóp $O . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh \(a,OA \bot (ABCD),OA = h\). Đặt trục số Ox như Hình 8 . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \({\rm{x}}(0 < {\rm{x}}\) \( \le \) h), cắt hình chóp OABCD theo mặt cắt là hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Kí hiệu \(S(x)\) là diện tích của hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
a) Tính \(S(x)\) theo a, h và \(x\).
b) Tính \(\int_0^h S (x)dx\) và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD
Trong không gian, cho hình chóp $O . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh \(a,OA \bot (ABCD),OA = h\). Đặt trục số Ox như Hình 8 . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \({\rm{x}}(0 < {\rm{x}}\) \( \le \) h), cắt hình chóp OABCD theo mặt cắt là hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Kí hiệu \(S(x)\) là diện tích của hình vuông \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
a) Tính \(S(x)\) theo a, h và \(x\).
b) Tính \(\int_0^h S (x)dx\) và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCDQuảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{h}\).
Do đó \(\frac{{S(x)}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \Rightarrow S(x) = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2} \cdot {a^2}\).
b) \(\int_0^h S (x)dx = \int_0^h {{{\left( {\frac{x}{h}} \right)}^2}} \cdot {a^2}dx = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int_0^h {{x^2}} dx = \left. {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{a^2}h\).
Có \({V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot OA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot h \cdot {a^2}\). Vậy \({V_{O.ABCD}} = \int_0^h S (x)dx\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Thể tích khối chóp đó là: \(V = \int_0^h S (x){\rm{d}}x = \int_0^h B \frac{{{x^2}}}{{{h^2}}}\;{\rm{d}}x = \left. {B\frac{{{x^3}}}{{3{h^2}}}} \right|_0^h = B\frac{{{h^3}}}{{3{h^2}}} = \frac{{Bh}}{3}.\)
Lời giải
Thể tích khối chóp cụt đều đó là:
\(V = \int_a^b S (x)dx = \int_a^b B \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx = \left. {B\frac{{{x^3}}}{{3{b^2}}}} \right|_a^b = \frac{B}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} - {a^3}} \right) = B \cdot \frac{{b - a}}{3} \cdot \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{b - a}}{3} \cdot B\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{a}{b} + 1} \right).\)
\({\rm{ Vi }}{B^\prime } = B\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ hay }}\frac{{{B^\prime }}}{B} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{\rm{ và h}} = {\rm{b - a nên }}\)\(V = \frac{h}{3} \cdot B\left( {\frac{{{B^\prime }}}{B} + \sqrt {\frac{{{B^\prime }}}{B}} + 1} \right) = \frac{h}{3}\left( {B + \sqrt {B{B^\prime }} + {B^\prime }} \right).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo