Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích của khung cửa.
Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích của khung cửa.
Quảng cáo
Trả lời:

Cửa có hình dạng một parabol \((P)\) với phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\).
Parabol \((P)\) có đỉnh \(I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)\) nên \(c = \frac{9}{4}\), suy ra \((P):y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}\).
Vì parabol \((P)\) đi qua các điểm \(A\left( { - \frac{3}{2},0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b = - \frac{9}{4}}\\{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b = - \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\), suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)
Do đó \((P):y = - {x^2} + \frac{9}{4}\).
Gọi \(S\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\) là diện tích kính cẩn lắp. Ta có \(S\) bằng diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng \(x = - \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}\).
\(S = \int_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { - {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ - \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {{m^2}} \right)\)
Vậy diện tích kính cản lắp là \(\frac{9}{2}{m^2}\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Giả sử parabol \(y = f(x)\) cho bời \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Do parabol \(y = f(x)\) đi qua điểm \(D(0;2)\) nên \(c = 2\), suy ra \(f(x) = a{x^2} + bx + 2(a \ne 0)\). Vì parabol \(y = f(x)\) đi qua các điểm \(C( - 4;0),E(4;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16a - 4b + 2 = 0}\\{16a + 4b + 2 = 0.}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình trên có nghiệm là \(a = - \frac{1}{8},b = 0\). Vậy \(f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2\).
- Giả sử parabol \(y = g(x)\) cho bởi \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Do parabol \(y = g(x)\) đi qua điểm \(G(0; - 3)\) nên \({c_1} = - 3\), suy ra \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x - 3\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Vì parabol \(y = g(x)\) đi qua các điểm \(C( - 4;0),E(4;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16{a_1} - 4{b_1} - 3 = 0}\\{16{a_1} + 4{b_1} - 3 = 0.}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình trên có nghiệm là \({a_1} = \frac{3}{{16}},{b_1} = 0\). Vậy \(g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\).
b) Diện tích của logo là: \(S = {S_1} + {S_2}\), trong đó \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\) và hai đường thẳng \(x = - 5,x = - 4\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(f(x) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\) và hai đường thẳng \(x = - 4,x = 4\).
Do đó, ta có:
\(S = \int_{ - 5}^{ - 4} | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x\)
\( = \int_{ - 5}^{ - 4} {\left[ {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) - \left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right)} \right]} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left[ {\left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right)} \right]} {\rm{d}}x\)
\( = \int_{ - 5}^4 {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)} {\rm{d}}x\)
\( = \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {5x} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 4}^4 + \left. {5x} \right|_{ - 4}^4\)
\( = \frac{{305}}{{48}} - 5 - \frac{{640}}{{48}} + 40 = \frac{{1345}}{{48}}.\)
\(S = \frac{{1345}}{{48}}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
c) Gọi \(t\) là lượng ánh sáng đi qua mỗi $\mathrm{dm}^2$ của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là \(\frac{{1345}}{{48}}t\). Mặt khác, diện tích của cửa sổ là \((8 + 1) \cdot (2 + 3) = 45\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) và lượng ánh sáng đi qua mỗi \({\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) của phần cửa sổ nằm ngoài logo là 2t. Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là \(45.2t = 90t\) và lượng ánh sáng đi qua phẩn cửa sổ nằm ngoài logo là: \(\left( {45 - \frac{{1345}}{{48}}} \right)2t = \frac{{815}}{{24}}t\)
Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là: \(\frac{{1345}}{{48}}t + \frac{{815}}{{24}}t = \frac{{2975}}{{48}}t.\)
Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so vởi lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là: \(\left( {\frac{{2975}}{{48}}t:90t} \right) \cdot 100\% = \frac{{297500}}{{4320}}\% \approx 68,9\% {\rm{. }}\)
Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100% - 68,9% = 31,1%
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.