Cho tam giác OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giải sử \[\widehat {POM} = \alpha ,OM = l{\rm{ }}\left( {0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3};t > 0} \right)\]. Gọi N là khối nón tròn xoay thu được khi tam giác đó xuay quanh trục Ox. Tính thể tích khối nón N theo \[l\].
Cho tam giác OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Giải sử \[\widehat {POM} = \alpha ,OM = l{\rm{ }}\left( {0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3};t > 0} \right)\]. Gọi N là khối nón tròn xoay thu được khi tam giác đó xuay quanh trục Ox. Tính thể tích khối nón N theo \[l\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Tam giác OMP là tam giác vuông tại \(P\) nên:
\({\rm{OP}} = {\rm{OM}} \cdot \cos \widehat {POM} = \ell \cdot \cos \alpha ;\)
\({\rm{MP}} = {\rm{OM}} \cdot \sin \widehat {POM} = \ell \cdot \sin \alpha \)
Khi đó, điếm \(M\) có tọa độ là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = OP = 1 \cdot \cos \alpha }\\{{y_M} = MP = 1 \cdot \sin \alpha }\end{array}} \right.\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}}\\{{y_M} = \frac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }} \cdot \sin \alpha }\end{array}} \right.\).
Suy ra \({{\rm{y}}_{\rm{M}}} = {{\rm{x}}_{\rm{M}}} \cdot \tan {\rm{a}}\). Do đó điếm M thuộc đường thắng \({\rm{y}} = {\rm{x}} \cdot \tan {\rm{a}}\).
Lại có điếm O cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thắng OM là:
\(y = x \cdot \tan \alpha .\)
Khi đó, tam giác OPM là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \({\rm{y}} = {\rm{x}} \cdot \tan {\rm{a}}\), trục Ox và hai đường thắng \(x = 0,x = \ell \cdot \cos \alpha \). Khối tròn xoay \(\mathcal{N}\) là khối tròn xoay thu được khi quay hình phắng trên quanh trục $O x$.
Thế tích khối tròn xoay này là:
\(V = \pi \int_0^{1 \cdot \cos \alpha } {{{(x \cdot \tan \alpha )}^2}} dx = \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha \cdot \frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{1 \cdot \cos \alpha }\)
\( = \frac{{\pi {{\tan }^2}\alpha }}{3} \cdot {(1 \cdot \cos \alpha )^3} = \frac{{\pi {1^3}}}{3} \cdot \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {\cos ^3}\alpha = \frac{{\pi {1^3}}}{3} \cdot {\sin ^2}\alpha \cdot \cos \alpha \)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
\[V = \int\limits_0^{10} {S(x)dx} {\rm{ = }}\int\limits_0^{10} {2.0,15dx} = 3{\rm{ }}({m^3})\]. Vậy số tiền cô Hạnh cần dùng là: 1 080 000.3 = 3 240 000
Lời giải
\(S = \int\limits_2^{25} { - \frac{1}{{800}}\left( {{x^3} - 33{x^2} + 120x - 400} \right){\rm{d}}x} \approx 57,6{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo