Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là \(4cm\), chiều cao trong lòng cốc là \(12cm\) đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết rằng khi nghiêng cốc nước vừa lúc chạm miệng cốc thì ở đáy cốc, mực nước trùng với đường kính đáy.

 

 

a) Giả sử parabol \(y = f(x)\) cho bời \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Do parabol \(y = f(x)\) đi qua điểm \(D(0;2)\) nên \(c = 2\), suy ra \(f(x) = a{x^2} + bx + 2(a \ne 0)\). Vì parabol \(y = f(x)\) đi qua các điểm \(C( - 4;0),E(4;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16a - 4b + 2 = 0}\\{16a + 4b + 2 = 0.}\end{array}} \right.\)

Hệ phương trình trên có nghiệm là \(a =  - \frac{1}{8},b = 0\). Vậy \(f(x) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\).

- Giả sử parabol \(y = g(x)\) cho bởi \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Do parabol \(y = g(x)\) đi qua điểm \(G(0; - 3)\) nên \({c_1} =  - 3\), suy ra \(g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x - 3\left( {{a_1} \ne 0} \right)\). Vì parabol \(y = g(x)\) đi qua các điểm \(C( - 4;0),E(4;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{16{a_1} - 4{b_1} - 3 = 0}\\{16{a_1} + 4{b_1} - 3 = 0.}\end{array}} \right.\)

Hệ phương trình trên có nghiệm là \({a_1} = \frac{3}{{16}},{b_1} = 0\). Vậy \(g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\).

b) Diện tích của logo là: \(S = {S_1} + {S_2}\), trong đó \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(f(x) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\) và hai đường thẳng \(x =  - 5,x =  - 4\); \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol \(f(x) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2,g(x) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\) và hai đường thẳng \(x =  - 4,x = 4\).

Do đó, ta có:

\(S = \int_{ - 5}^{ - 4} | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x\)

\( = \int_{ - 5}^{ - 4} {\left[ {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right) - \left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right)} \right]} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left[ {\left( { - \frac{1}{8}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{3}{{16}}{x^2} - 3} \right)} \right]} {\rm{d}}x\)

\( = \int_{ - 5}^4 {\left( {\frac{5}{{16}}{x^2} - 5} \right)} {\rm{d}}x + \int_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{5}{{16}}{x^2} + 5} \right)} {\rm{d}}x\)

\( = \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {5x} \right|_{ - 5}^{ - 4} - \left. {\frac{5}{{48}}{x^3}} \right|_{ - 4}^4 + \left. {5x} \right|_{ - 4}^4\)

\( = \frac{{305}}{{48}} - 5 - \frac{{640}}{{48}} + 40 = \frac{{1345}}{{48}}.\)

\(S = \frac{{1345}}{{48}}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

c) Gọi \(t\) là lượng ánh sáng đi qua mỗi $\mathrm{dm}^2$ của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là \(\frac{{1345}}{{48}}t\). Mặt khác, diện tích của cửa sổ là \((8 + 1) \cdot (2 + 3) = 45\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) và lượng ánh sáng đi qua mỗi \({\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\) của phần cửa sổ nằm ngoài logo là 2t. Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là \(45.2t = 90t\) và lượng ánh sáng đi qua phẩn cửa sổ nằm ngoài logo là: \(\left( {45 - \frac{{1345}}{{48}}} \right)2t = \frac{{815}}{{24}}t\)

Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là: \(\frac{{1345}}{{48}}t + \frac{{815}}{{24}}t = \frac{{2975}}{{48}}t.\)

Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so vởi lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trược khi làm logo là:  \(\left( {\frac{{2975}}{{48}}t:90t} \right) \cdot 100\%  = \frac{{297500}}{{4320}}\%  \approx 68,9\% {\rm{. }}\)

Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100% - 68,9% = 31,1%