Cho lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\), \(AA' = a\) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AA'\). Vectơ \(\overrightarrow {OC'} \) có toạ độ là \(\left( {m\,;\,n\,;\,p} \right)\). Khi \(a = 1\)hãy tính giá trị biểu thức \(T = 2m + n + p\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chọn \(a = 1\).

Dễ dàng tính được \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(M\left( { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\), \(D\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và \(C'\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - \frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {C'D}  = \left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {OC'}  = \left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\).