Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + x + 3\left( P \right)\] và \[y =  - {x^2} + 2x + 1\left( H \right)\].

Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( H \right)\) như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Diện tích phần hình phẳng \(\left( E \right)\) được gạch sọc tính theo công thức \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^3} + 2{x^2} + x - 2} \right){\rm{d}}x} \].

a- Sai

+ Phần \[S{}_1\]: phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 3\], \[g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 1\]và các đường thẳng \[x =  - 1\], \[x = 1\].

Dựa vào đồ thị ta có \[{S_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x\]\[ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{8}{3}\].

+ Phần \[{S_2}\]: phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 3\], \[g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 1\]và các đường thẳng \[x = 1\], \[x = 2\].

Dựa vào đồ thị ta có \[{S_2} = \int\limits_1^2 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x\]\[ = \int\limits_1^2 {\left( { - {x^3} + 2{x^2} + x - 2} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{5}{{12}}\].

Vậy \[S = {S_1} + {S_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} \,{\rm{d}}x\]\[ + \int\limits_1^2 {\left( { - {x^3} + 2{x^2} + x - 2} \right){\rm{d}}x} \].