Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho nửa hình tròn \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} = 8,y \ge 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(S = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 - {x^2}} } dx\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho nửa hình tròn \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} = 8,y \ge 0\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(S = \int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 - {x^2}} } dx\).
Quảng cáo
Trả lời:

a-Sai
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(S = \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\sqrt {8 - {x^2}} } dx\).
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\left( {8 - {x^2}} \right)dx} \).
b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\left( {8 - {x^2}} \right)dx} \).
Lời giải của GV VietJack
b- Đúng
b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn \(\left( C \right)\) quanh trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {{y^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 2\sqrt 2 }^{2\sqrt 2 } {\left( {8 - {x^2}} \right)dx} \).
Câu 3:
c) Đường thẳng \(y = 2\) chia nửa hình tròn \(\left( C \right)\) thành hai phần, phần có diện tích bé hơn bằng \(2\pi - 8\).
c) Đường thẳng \(y = 2\) chia nửa hình tròn \(\left( C \right)\) thành hai phần, phần có diện tích bé hơn bằng \(2\pi - 8\).
Lời giải của GV VietJack
c) Xét phương trình: \(y = 2 \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Gọi \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - 2} \right)} dx = 2\pi - 4\), \({S_2} = \frac{1}{2}S - {S_1} = 2\pi + 4 \Rightarrow {S_1} < {S_2}\).
Câu 4:
d) Parabol \(\left( P \right):\,y = \frac{{{x^2}}}{2}\) chia hình tròn thành hai phần. Gọi \({S_1}\) là diện tích phần nhỏ, \({S_2}\) là diện tích phần lớn. Tỉ số \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} < 1\].
d) Parabol \(\left( P \right):\,y = \frac{{{x^2}}}{2}\) chia hình tròn thành hai phần. Gọi \({S_1}\) là diện tích phần nhỏ, \({S_2}\) là diện tích phần lớn. Tỉ số \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} < 1\].
Lời giải của GV VietJack
d- Sai
d) Giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\;\left( 1 \right)\\y = \frac{{{x^2}}}{2}\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({x^2} + \frac{{{x^4}}}{4} = 8 \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} - 32 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = - 8\;\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Phần nhỏ giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\); \[y = \sqrt {8 - {x^2}} \]; \(x = - 2\); \(x = 2\) nên ta có:
\({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right){\rm{d}}x} = \underbrace {\int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} }_A - \underbrace {\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x} }_B\)
Tính \(A = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right){\rm{d}}x} \)
Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow {\rm{d}}x = 2\sqrt 2 \cos t{\rm{d}}t\).
Đổi cận: \(x = - 2 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{4}\); \(x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\).
\[A = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} } .2\sqrt 2 \cos t{\rm{d}}t\]\[ = 8\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} \]\[ = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} \]\[ = \left. {4\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\]\[ = 2\pi + 4\].
\(B = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{8}{3}\).
\( \Rightarrow \)\({S_1} = 2\pi + \frac{4}{3}\) \( \Rightarrow \)\({S_2} = \frac{1}{2}\pi {R^2} - {S_1} = 2\pi - \frac{4}{3}\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{3\pi - 2}} \approx 1,5 > 1\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng vì đường thẳng \[d:\,y = ax + b\]. \[d\] đi qua hai điểm \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( {6;8} \right)\) nên \[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\6a + b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\]\( \Rightarrow d:y = x + 2\).
Lời giải
A-Đúng
A. đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\] trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\] là \[y = \frac{1}{2}t\]. Do đó diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\], trục \[Ot\] và hai đường thẳng là: \[t = 0;t = 1\] là \[S = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {tdt} = \frac{1}{4}\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.