Câu hỏi:

06/08/2025 6 Lưu

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m2 để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn (Hình vẽ). Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá 15 m, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m^2 để trồng vài loại cây mới (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Gọi x (m) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.

Theo đề bài, ta có 0 < x \[ \le \] 15.

Diện tích khu đất này là 200 (m2) nên chiều dài của khu đất là \[\frac{{200}}{x}\] (m).

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là \[L(x) = 2x + \frac{{200}}{x}\] (m).

Xét hàm số: \[L(x) = 2x + \frac{{200}}{x},x \in \left( {0;15} \right]\]

Ta có: \[L'(x) = 2 - \frac{{200}}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 10{\rm{ }}({\rm{do }}x > 0)\]

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} L(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {2x + \frac{{200}}{x}} \right) =  + \infty \]

L(10) = 40;

L(15) = \[\frac{{130}}{3}\].

Bảng biến thiên:

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích 200 m^2 để trồng vài loại cây mới (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là 40 m khi chiều rộng khu đất này là x = 10 (m) và chiều dài là \[\frac{{200}}{{10}} = 20\](m).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Khi bán x mét vải lụa:
Số tiền thu được là: B (x) = 220x (nghìn đồng).
Lợi nhuận thu được là: L (x) = B (x) – C (x) = –x3 + 3x2 + 240x – 500 (nghìn đồng).
b) Hàm số L (x) xác định trên [1; 18].
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm L '(x) = –3x2 + 6x + 240; L '(x) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = –8 (loại).

Trên khoảng (1; 10), L '(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Trên khoảng (10; 18), L '(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số L(x) đạt cực đại tại x = 10 và LCĐ = L(10) = 1 200.
+ Bảng biến thiên:
Media VietJack
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (10; 1 200) và đi qua các điểm (1; –258), (18; –1 040) như Hình 8.
Media VietJack
c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 200.
Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1 200 nghìn đồng.

Lời giải

Ta có: \[P'(t) = \frac{{0,75a{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}},t \ge 0\]
Theo đề bài, ta có: P(0) = 20 và P’(0) = 12. Do đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{b + 1}} = 20\\\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 12\end{array} \right.\]
Giải hệ phương trình này, ta được a = 25 và b = \[\frac{1}{4}\]
Khi đó, \[P'(t) = \frac{{18,75{e^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\], tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25}}{{\frac{1}{4} + {e^{ - 0,75t}}}} = 100\] nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

Câu 7

(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy. Người ta có thể làm như sau:

• Để xây dựng mô hình toán học cho bài toán trên, ta sử dụng thống kê. Bằng cách khảo sát tốc độ đánh máy trung bình S (tính bằng từ trên phút) của học viên đó sau 1 tuần học (5 ≤ t ≤ 30), ta thu thập các số liệu thống kê được cho trong Bảng 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).

(Bài toán thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng) Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy (ảnh 1)

• Ta cần chọn hàm số y = f (t) để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1, tức là ở hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) “gần” với các điểm A(5 ; 38), B(10 ; 56), C(15 ; 79), D(20 ; 90), E(25 ; 93), G(30 ; 94). Ngoài ra, do tốc độ đánh máy trung bình của học viên tăng theo thời gian t và chỉ đến một giới hạn M nào đó cho dù thời gian t có kéo dài đến vô cùng nên hàm số y = f (t) phải thỏa mãn thêm hai điều kiện: Hàm số đó ĐB trên khoảng (0 ; + \[\infty \]) và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } f(t) = M \in \mathbb{R},M > 94\]. Vì các hàm đa thức (với bậc lớn hơn hoặc bằng 1) không thỏa mãn hai điều kiện đó nên ta chọn một hàm phân thức hữu tỉ để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1.

Ta có thể chọn hàm số có dạng \[f(t) = \frac{{at + b}}{{ct + d}}\]  (ac ≠ 0) cho mục đích đó. Dựa vào Bảng 1, ta chọn hàm số:

\[f(t) = \frac{{110t - 280}}{{t + 2}},(t > 0)\]

a) Dựa theo mô hình đó, dự đoán tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau 40 tuần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của từ/phút)

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên khoảng (0 ; + \[\infty \]), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau thời gian t ngày càng lớn.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP