Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (Hình vẽ bên dưới), nó được giới hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\]. Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.
a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài bao nhiêu mét?
b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối diện là lớn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.
c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y = – 1,5x + 18. Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Tìm toạ độ của điểm để xây bến thuyền này.
Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh hoạ (Hình vẽ bên dưới), nó được giới hạn bởi các trục toạ độ và đồ thị của hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\]. Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.
a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài bao nhiêu mét?
b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối diện là lớn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.
c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số y = – 1,5x + 18. Người ta dự định xây dựng bên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Tìm toạ độ của điểm để xây bến thuyền này.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Trong Hình 25, đồ thị của hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] cắt tia Ox tại điểm có hoành độ x = 8. Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục Ox dài 800 m.
b) Ta khảo sát hàm số: \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0≤ x ≤8.
f '(x) = \[\frac{1}{{10}}\] (-3x2+18x-15); f '(x)=0\[ \Leftrightarrow \]-x2+6x-5=0\[ \Leftrightarrow \]x=1 hoặc x = 5.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x)= f(5)=8,1 tại x= 5.
Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục Ox) đến bờ hồ đối diện là:
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
100.( \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \] f(x))=100. f(5) = 100. 8,1 =810 (m) và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc O một khoảng cách là 500 m.
c) Xét điểm M(x ; f(x)) thuộc đồ thị hàm số \[y = f(x) = \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56)\] với 0 ≤ x ≤8.
Khoảng cách từ điểm M(x ; f(x)) đến đường thẳng y=−1,5x+18\[ \Leftrightarrow \]-1,5x−y+18=0 là:
\[MH = \frac{{\left| { - 1,5x - \frac{1}{{10}}( - {x^3} + 9{x^2} - 15x + 56) + 18} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1,5)}^2} + 1} }} = \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }}\]
Ta khảo sát hàm số: h(x) = x3 –9x2 +124 với 0≤x≤8.
h'(x)=3x2-18x;
h'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]x2-6x=0\[ \Leftrightarrow \]x=0 hoặc x = 6.
Bảng biến thiên:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: h(x) > 0 với 0≤x≤8;
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x)\]= h(6)=16 tại x= 6.
Do đó, \[\min MH = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} \frac{{\left| {{x^3} - 9{x^2} + 124} \right|}}{{10\sqrt {3,25} }} = \frac{1}{{10\sqrt {3,25} }} \cdot \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} h(x) = \frac{{16}}{{10\sqrt {3,25} }} \approx 0,8875\] và đạt được tại x = 6. Khi đó, f(6) = 7,4.
Vậy trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình vẽ ban đầu, điểm để xây bến thuyền có toạ độ là M(6 ; 7,4).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[f(52) = \frac{{26.52 + 10}}{{52 + 5}} = \frac{{1362}}{{57}} \approx 23,895\] (nghìn người).
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23 895 người.
b) 1) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f(t) = 26\] . Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\[f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} > 0\] với mọi t≥0.
Bảng biến thiên
Hàm số ĐB trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\]. Hàm số không có cực trị.
2) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0:2).
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1 ; 6).
Vậy đồ thị hàm số \[y = f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0\] thể hiện như hình vẽ dưới đây:
c)
c1) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn là: \[f'(52) = \frac{{120}}{{{{\left( {52 + 5} \right)}^2}}} = \frac{{40}}{{1083}}\]
c2) Ta có: \[f'(t) = 0,192 \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} \right)}^2}}} = 0,192 \Leftrightarrow t = 20{\rm{ }}(do{\rm{ }}t \ge 0)\]
Vậy vào năm 1990, thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.
Lời giải
a) Khi bán x mét vải lụa:
Số tiền thu được là: B (x) = 220x (nghìn đồng).
Lợi nhuận thu được là: L (x) = B (x) – C (x) = –x3 + 3x2 + 240x – 500 (nghìn đồng).
b) Hàm số L (x) xác định trên [1; 18].
– Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
Đạo hàm L '(x) = –3x2 + 6x + 240; L '(x) = 0 ⇔ x = 10 hoặc x = –8 (loại).
Trên khoảng (1; 10), L '(x) > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Trên khoảng (10; 18), L '(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
+ Cực trị: Hàm số L(x) đạt cực đại tại x = 10 và LCĐ = L(10) = 1 200.
+ Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (10; 1 200) và đi qua các điểm (1; –258), (18; –1 040) như Hình 8.
c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1 200.
Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là 1 200 nghìn đồng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập