Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ (ABCD), ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, \(SA = \frac{a}{2}\). Khi đó:

a) BD ^ (SAC).

b) Góc giữa SD và (ABCD) là \(\widehat {ASD}\).

c) Góc giữa SD và (ABCD) nhỏ hơn 30°.

d) Số đo của góc nhị diện [S, CD, A] bằng 30°.

a) Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BD mà AC ^ BD (do ABCD là hình thoi). Suy ra BD ^ (SAC).

b) Vì SA ^ (ABCD) nên AD là hình chiếu của SD trên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra (SD, (ABCD)) = (SD, AD) = \(\widehat {SDA}\).

c) Xét DSAD vuông tại S, ta có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SDA} \approx 25,56^\circ \).

d) Gọi H là trung điểm của CD.

Vì tam giác ACD có AC = AD = CD = a nên DACD đều Þ AH ^ CD mà SA ^ CD (do SA ^ (ABCD)) Þ CD ^ (SAH) Þ CD ^ SH.

Do đó \(\widehat {SHA}\)là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A].

Vì DACD đều nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét DSAH vuông tại A, có \(\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{a}{2}:\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SHA} = 30^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.