Trong một khu phố có 100 nhà, tại đó có 60 nhà gắn biển số chẵn và 40 nhà gắn biển số lẻ. Bên cạnh đó, có 50 nhà gắn biển số chẳn và 20 nhà gắn biển số lẻ đều có ô tô. Chọn ngẫu nhiên một nhà trong khu phố đó.

a) Tính xác suất nhà được chọn có ô tô, biết rằng nhà đó gắn biển số chẵn.

b) Tính xác suất nhà được chọn gắn biển số lẻ, biết rằng nhà đó có ô tô.

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu \(B\) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen. Vậy \(P(A\mid B) = \frac{{19}}{{29}}\).

Cách 2: Bằng công thức

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó \(n(\Omega ) = 30 \cdot 29\).

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó \(n(B) = 20 \cdot 29\) và \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\).

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Do đó \(n(AB) = 20 \cdot 19\) và \(P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}}\).

Vậy \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{n(AB)}}{{n(B)}} = \frac{{20 \cdot 19}}{{20 \cdot 29}} = \frac{{19}}{{29}}\).

Xét các biến cố:

A: "Lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp";

\(B\) : "Lần thứ hai lấy ra sản phẩm chất lượng thấp";

\(C\) : "Cả hai lần đều lấy ra sản phẩm chất lượng thấp".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy ra sản phầm chất lượng thấp, biết lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp, là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(B\mid A)\) và \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A)\).

Ta có: \({\rm{P}}(A) = \frac{8}{{25}};{\rm{P}}(B\mid A) = \frac{7}{{24}}\). Suy ra \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) = \frac{8}{{25}} \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{75}}\).

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\frac{7}{{75}}\).