Nếu $B$ xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen. Vậy $P(A\mid B) = \frac{{19}}{{29}}$.

Cách 2: Bằng công thức

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó $n(\Omega ) = 30 \cdot 29$.

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó $n(B) = 20 \cdot 29$ và $P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}$.

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Do đó $n(AB) = 20 \cdot 19$ và $P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}}$.

Vậy $P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{n(AB)}}{{n(B)}} = \frac{{20 \cdot 19}}{{20 \cdot 29}} = \frac{{19}}{{29}}$.

Câu 2/30

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khó́i lượng. Bạn Bỉnh lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đơ bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi $A$ là biến cố: "An lấy được viên bi trắng"; $B$ là biến cố: "Bình lấy được viên bi trắng".

Tính $P(A\mid \bar B)$ bằng định nghĩa và bằng công thức.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu $B$ không xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen. Khi đó trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen. Vậy $P(A\mid \bar B) = \frac{{20}}{{29}}$.

Cách 2: Bẳng công thức

Nếu B không xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen.

Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 29 cách chọn từ 29 viên còn lại trong hộp.

Do đó $n(\bar B) = 10 \cdot 29$ và $P(\bar B) = \frac{{n(\bar B)}}{{n(\Omega )}}$.

Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 20 cách chọn viên bi trắng.

Do đó $n(A\bar B) = 20 \cdot 10$ và $P(A\bar B) = \frac{{n(A\bar B)}}{{n(\Omega )}}$.

Vậy $P(A\mid \bar B) = \frac{{P(A\bar B)}}{{P(\bar B)}} = \frac{{n(A\bar B)}}{{n(\bar B)}} = \frac{{20 \cdot 10}}{{10 \cdot 29}} = \frac{{20}}{{29}}$.

Câu 3/30

Từ công thức tính $P(A\mid B)$ ở trên, chứng minh rằng nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập với $P(A) > 0,P(B) > 0$ thì $P(A\mid B) = P(A)$ và $P(B\mid A) = P(B)$.

Xem đáp án

Lời giải

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

Vậy với $P(A) > 0,P(B) > 0$ ta có:

$P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{P(A) \cdot P(B)}}{{P(B)}} = P(A);$

$P(B\mid A) = \frac{{P(BA)}}{{P(A)}} = \frac{{P(B) \cdot P(A)}}{{P(A)}} = P(B).$

Câu 4/30

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến cố, hãy chứng tỏ rằng nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì $P(A\mid B) = P(A)$ và $P(B\mid A) = P(B)$.

Xem đáp án

Lời giải

Theo định nghĩa, $P(A\mid B)$ là xác suất của $A$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $B$ đã xảy ra. Vì $A$, $B$ độc lập nên việc xảy ra $B$ không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của $A$. Do đó:

$P(A\mid B) = P(A){\rm{. }}$

Tương tự $P(B\mid A)$ là xác suất của $B$, tính trong điều kiện biết rằng biến cố $A$ đã xảy ra. Vì $A$, $B$ độc lập nên việc xảy ra $A$ không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của $B$. Do đó:

$P(B\mid A) = P(B){\rm{. }}$

Câu 5/30

Chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: $P(\bar A\mid B) = P(\bar A)$ và $P(A\mid \bar B) = P(A)$

Xem đáp án

Lời giải

Vi A và B là hai biến cố độc lập nên các cặp biến cố $\bar A$ và $B$ ; $A$ và $\bar B$ cũng độc lập.

Theo định nghĩa $P(\bar A\mid B)$ là xác suất của $\bar A$ (tức là xác suất không xuất hiện của A ) biết rằng biến cố B đã xảy ra. Vi $\bar A,\;{\rm{B}}$ độc lập nên việc xảy ra B không ảnh hưởng tới xác suất không xuất hiện của A .

Do đó $P(\bar A\mid B) = P(\bar A)$.

Tương tự $P(A\mid \bar B)$ là xác suất của A biết rằng biến cố B không xảy ra. Vì ${\rm{A}},\bar B$ độc lập nên việc không xảy ra $B$ không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của A.

Do đó $P(A\mid \bar B) = P(A)$

Câu 6/30

Một nhóm học sinh tham gia một kì thi Olympic Tin học của trường, trong đó có 5 học sinh lớp 12 A . Sau khi chấm điểm, có 3 học sinh lớp 12 A đạt giải. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm học sinh trên. Tính xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12 A .

Xem đáp án

Lời giải

Xét các biến cố:

A: "Chọn được học sinh đạt giải";

B: "Chọn được học sinh thuộc lớp 12A".

Khi đó, xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12 A , là xác suất của $A$ với điều kiện $B$.

Ta có: $n(B) = 5,n(A \cap B) = 3$. Suy ra ${\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{3}{5}$.

Vậy xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12 A , là $\frac{3}{5}$.

Câu 7/30

Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:

A: "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất";

$B$ : "Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai".

Tính các xác suất ${\rm{P}}(A),{\rm{P}}(A\mid B),{\rm{P}}(A\mid \bar B),{\rm{P}}(B),{\rm{P}}(B\mid A),{\rm{P}}(B\mid \bar A)$.

Xem đáp án

Lời giải

Không gian mẫu có số phần tử là 49 .

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là một cách chọn quả bóng màu xanh ở lần thứ nhất (có 3 khả năng) và chọn quả bóng tuỳ ý ở lần thứ hai (có 7 khả năng). Do đó $n(A) = 3.7 = 21$, suy ra $n(\bar A) = 49 - n(A) = 49 - 21 = 28$.

Tương tự, ta có: $n(B) = 7.4 = 28,n(\bar B) = 49 - 28 = 21$.

- Một kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cap B$ là một cách chọn quả bóng màu xanh ở lần thứ nhất (có 3 khả năng) và chọn quả bóng màu đỏ ở lần thứ hai (có 4 khả năng). Vì vậy $n(A \cap B) = 3.4 = 12$. Tương tự, ta có: $n(A \cap \bar B) = 3.3 = 9$, $n(B \cap \bar A) = 4.4 = 16$.

${\rm{ Ta c\'o : P}}(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{21}}{{49}} = \frac{3}{7};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{{12}}{{28}} = \frac{3}{7};$

${\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{{n(A \cap \bar B)}}{{n(\bar B)}} = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7};{\rm{P}}(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{28}}{{49}} = \frac{4}{7};$

${\rm{P}}(B\mid A) = \frac{{n(B \cap A)}}{{n(A)}} = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7};{\rm{P}}(B\mid \bar A) = \frac{{n(B \cap \bar A)}}{{n(\bar A)}} = \frac{{16}}{{28}} = \frac{4}{7}.$

Câu 8/30

Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:

A: "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất";

$B$ : "Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai".

Chứng minh rằng $A$, $B$ là hai biến cố độc lập.

Xem đáp án

Lời giải

Vì ${\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(A\mid B) = {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{3}{7}$ và ${\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(B\mid A) = {\rm{P}}(B\mid \bar A) = \frac{4}{7}$ nên $A$, $B$ là hai biến cố độc lập.

Câu 9/30