Một công ty vừa ra mắt sản phẩm \(X\) và tổ chức ngày trải nghiệm sản phẩm. Họ thống kê được trong 200 người đến tham quan ngày trải nghiệm có 60 người là nam giới và 140 người là nữ giới. Trong số những người được thống kê này, có 120 người mua sản phẩm X , gồm 40 khách hàng nam và 80 khách hàng nữ, còn lại là không mua sản phẩm X. Chọn ngẫu nhiên một người trong số 200 người được thống kê. Tính xác suất để người này mua sản phẩm \(X\), biết rằng người được chọn là nữ giới (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu \(B\) xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen. Vậy \(P(A\mid B) = \frac{{19}}{{29}}\).

Cách 2: Bằng công thức

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó \(n(\Omega ) = 30 \cdot 29\).

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

Do đó \(n(B) = 20 \cdot 29\) và \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\).

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Do đó \(n(AB) = 20 \cdot 19\) và \(P(AB) = \frac{{n(AB)}}{{n(\Omega )}}\).

Vậy \(P(A\mid B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{{n(AB)}}{{n(B)}} = \frac{{20 \cdot 19}}{{20 \cdot 29}} = \frac{{19}}{{29}}\).

Xét các biến cố:

A: "Lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp";

\(B\) : "Lần thứ hai lấy ra sản phẩm chất lượng thấp";

\(C\) : "Cả hai lần đều lấy ra sản phẩm chất lượng thấp".

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy ra sản phầm chất lượng thấp, biết lần thứ nhất lấy ra sản phẩm chất lượng thấp, là xác suất có điều kiện \({\rm{P}}(B\mid A)\) và \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A)\).

Ta có: \({\rm{P}}(A) = \frac{8}{{25}};{\rm{P}}(B\mid A) = \frac{7}{{24}}\). Suy ra \({\rm{P}}(C) = {\rm{P}}(B \cap A) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) = \frac{8}{{25}} \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{75}}\).

Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là \(\frac{7}{{75}}\).