Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh \(X\) của hai loại thuốc M và N . Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2400 bệnh nhân dùng thuốc \({\rm{M}},1600\) bệnh nhân còn lại dùng thuốc N . Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) như sau: 

 

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

uống thuốc M , biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khó́i lượng. Bạn Bỉnh lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đơ bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi \(A\) là biến cố: "An lấy được viên bi trắng"; \(B\) là biến cố: "Bình lấy được viên bi trắng".

Tính \(P(A\mid B)\) bằng định nghĩa và bằng công thức tính \(P(A\mid B)\) ở trên.

Trong cuộc khảo sát trên một nhóm học sinh gồm các bạn thích trà sữa hoặc kem, người ta có được kết quả sau: Có \(56\% \) số học sinh thích kem, \(68\% \) số học sinh thích trà sữa, \(24\% \) số học sinh thích cả trà sửa và kem (Hình 6.2). Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trong nhóm được khảo sát này. Tính xác suất để chọn được học sinh thích kem, biết rằng học sinh đó thích trà sữa.

 

Một công ty vừa ra mắt sản phẩm \(X\) và tổ chức ngày trải nghiệm sản phẩm. Họ thống kê được trong 200 người đến tham quan ngày trải nghiệm có 60 người là nam giới và 140 người là nữ giới. Trong số những người được thống kê này, có 120 người mua sản phẩm X , gồm 40 khách hàng nam và 80 khách hàng nữ, còn lại là không mua sản phẩm X. Chọn ngẫu nhiên một người trong số 200 người được thống kê. Tính xác suất để người này mua sản phẩm \(X\), biết rằng người được chọn là nữ giới (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một lô sản phẩm có 25 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm trong lô sàn phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.

(Bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) ) Một viện nghiên cứu về an toàn giao thông muốn tìm hiểu về mối quan hệ giữa việc thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viện đã xem xét 577006 vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:

- Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong và 412368 người sống sót;

- Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có 1601 người tử vong và 162527 người sống sót.

Kết quả trên được trình bày dưới dạng bảng gồm 2 dòng và 2 cột như dưới đây, được gọi là bảng dữ liệu thống kê \(2 \times 2\) :

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số 577006 người bị tai nạn giao thông.

So sánh hai xác suất ở câu \(a\) và câu b rồi rút ra kết luận.

Một nhóm học sinh tham gia một kì thi Olympic Tin học của trường, trong đó có 5 học sinh lớp 12 A . Sau khi chấm điểm, có 3 học sinh lớp 12 A đạt giải. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm học sinh trên. Tính xác suất chọn được học sinh đạt giải, biết rằng học sinh đó thuộc lớp 12 A .

Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các biến cố:

A: "Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất";

\(B\) : "Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai".

Chứng minh rằng \(A\), \(B\) là hai biến cố độc lập.