Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):y - 5 = 0\); \(\left( Q \right):\sqrt 3 x - y - 2024 = 0\) và xét các vectơ \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\); \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {\sqrt 3 ;\, - 1;\,0} \right)\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \(\overrightarrow {{n_1}} \) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) ;

b) \(\left( Q \right)\)có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {\sqrt 3 ;\, - 1;\,0} \right)\).

c) \(\cos \left( {P;Q} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {n{}_1} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.\sqrt 3  + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\)

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng \(\overrightarrow P \) và \(\overrightarrow Q \) là \(60^\circ \).

d) Gọi điểm \(M\left( {a;\,0;\,0} \right)\, \in Ox\) và cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)

Khi đó, \(d\left( {M;\,P} \right) = d\left( {M;\,Q} \right)\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \frac{{\left| {a\sqrt 3  - 0 - 2024} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }}\) \( \Leftrightarrow 5 = \frac{{\left| {a\sqrt 3  - 2024} \right|}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {a\sqrt 3  - 2024} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 678\sqrt 3 \\a = \frac{{2014\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Do đó, có 2 điểm \({M_1}\left( {678\sqrt 3 ;0;0} \right);\,{M_2}\left( {\frac{{2014\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)\) thỏa yêu cầu.