Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;\,1;\, - 1} \right)\); \(B\left( {3;\,2;\,1} \right)\) và \(C\left( {3;\,1;\,4} \right)\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,4;\, - 5} \right)\);

b) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1;\,0;\,5} \right);\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;\, - 3;\,1} \right)\). Suy ra, \(\overrightarrow {AB} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \).

c) Vì \(\overrightarrow {AB} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \). Do đó, \(A,\,B,\,C\) không thẳng hàng.

d) Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,\,B,\,C\) nhận vectơ \(\,\left[ {\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5;\, - 3;\,1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(5\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0\)

Ta có \(5.\,0\, - \,3.\,\left( { - 2} \right)\, - 3 - 8\, =  - 5 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) không đi qua điểm \(D\left( {0; - 2;3} \right)\).