Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1; ∆2 trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}(1;2;3)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2;1; - 1)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 11; - 6;10)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 6; - 3;3)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \( - 3\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 12; - 8;7)\) và \(\frac{{ - 12}}{2} \ne \frac{{ - 8}}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}(1;2;3)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;4;5)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 3; - 6;15)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;2; - 3)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\frac{3}{1} \ne \frac{4}{2}\), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương;

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 4; - 8;12),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&4\\1&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 22;14;2){\rm{. }}\)

Do \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 22) \cdot ( - 4) + 14 \cdot ( - 8) + 2 \cdot 12 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳg.

Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

c) Đường thắng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({{\rm{M}}_1}( - 1;1;0)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (4;3;1)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thắng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({{\rm{M}}_2}(1;3;1)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1;2;2)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (2;2;1),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&1\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}1&4\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}4&3\\1&2\end{array}} \right|} \right) = (4; - 7;5)\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.