Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau: d:x=5−ty=−3+2tz=4t (t∈ℝ) và d':x−92=y−133=z−1−1

Câu hỏi:

10/08/2025 11

Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc nhau:

$d : \{\begin{array}{l} x = 5 - t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 4 t \end{array} (t \in ℝ) v à d^{'} : \frac{x - 9}{2} = \frac{y - 13}{3} = \frac{z - 1}{- 1}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$d$ và ${d^\prime }$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec a = ( - 1;2;4)$ và $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;3; - 1)$.

Ta có $\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} = - 2 + 6 - 4 = 0$. Suy ra $\vec a \bot \overrightarrow {{a^\prime }} $. Vậy $d \bot {d^\prime }$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 3 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.$ và d': $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$;

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và d': $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng d đi qua ${\rm{M}}(7;3;2)$ và có vectơ chí phương $\vec a = (4; - 2; - 2)$

Đường thắng d' đi qua ${\rm{N}}(3;5;4)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (2; - 1; - 1) = \frac{1}{2}\vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng d' ta được

$\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}$ (luôn đúng). Suy ra điếm ${\rm{M}} \in {{\rm{d}}^\prime }$.

Vậy ${\rm{d}} \equiv d$ '.

b) Đường thắng d đi qua ${\rm{M}}(0;0;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec a = (3;3;4)$

Đường thẳng d' đi qua ${\rm{N}}(2;9;5)$ và có vectơ chí phương $\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;3;4) = \vec a$

Thay tọa độ điếm M vào phương trình đường thắng ${{\rm{d}}^\prime }$ ta có:

$\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}$ (vô lí). Suy ra $M \notin {d^\prime }$.

Vậy d // d'.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:

$Δ_{1} : \{\begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{array} và Δ_{2} : \{\begin{cases} x = - 6 + s \\ y = 5 + s \\ z = 5 + 2 s . \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua ${A_1}(1;2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = ( - 1;1;2)$. Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua ${A_2}( - 6;5;5)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = (1;1;2)$. Ta có $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = ( - 7;3;6)$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (0;4; - 2)$. Do $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 7) \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 6 \cdot ( - 2) = 0$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \vec 0$ nên hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

Câu 3