Trong không gian với hệ tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho đường thẳng \({d_1}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0; - 2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1; - 3;2} \right)\), \({d_2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 4}}{3}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có dạng \[ax + by + cz + 11 = 0\]. Giá trị \(a + 2b + 3c\) bằng

Chọn A

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;3; - 2} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và \(\left( P \right)\)song song với đường thẳng \({d_2}\) nên \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;5;8} \right)\].

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {1;5;8} \right)\] là \(x + 5y + 8z - 16 = 0\).

Chọn A

Ta có: Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;1;1} \right)\] và đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \({d_1};{d_2}\) nên \(\left( P \right)\) có VTPT là \[n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\]

Do đó: Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(y - z + m = 0\)

Mặt khác: \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) nên

\(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( P \right)\):\(y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0\).