Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,5;\, - 2} \right);\,B\left( {3;\,1;\,2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - y + 2z - 1 = 0;\,\left( \beta  \right):x - y - z + 3 = 0\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \(A\);

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} .\;\overrightarrow {{n_\beta }}  = 1.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 1} \right) = 0\). Suy ra, \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(\left( \beta  \right)\).

d) Gọi \(M\left( {2;\,3;\,0} \right)\) là trung điểm của \(AB\).

 \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và nhận vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\, - 4;\,4} \right)\) là \(2.\left( {x - 2} \right) - 4.\left( {y - 3} \right) + 4.\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 4 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {1.\,0 + \,\left( { - 2} \right).0 + 2.\,1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}.\)