Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho ba mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - y + 2z - 1 = 0\)\(\left( \beta  \right):2x + y - z + 3 = 0\) ; \(\left( \gamma  \right):2x - 2y + 4z + 3 = 0\).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Vectơ \(\left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\);

b) Đúng 

Ta có: \(2.0 + \left( { - 1} \right) - 1 + 3 = 1 \ne 0\). Suy ra, \(\left( \beta  \right)\) không đi qua điểm \(B\left( {0;\, - 1;\,1} \right)\)

c) Đúng 

Ta có: \(\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{{ - 1}}{3}\). Suy ra \(\left( \alpha  \right)//\,\left( \gamma  \right)\).

d) Sai

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1;\, - 1;\,2} \right);\,\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( { - 1;\,5;\,3} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\left( \beta  \right)\) nên nhận cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\,\overrightarrow {{n_\beta }} \)

Suy ra, \(\left( \gamma  \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;\, - 5;\, - 3} \right)\) có dạng \(x - 5y - 3z + D = 0\)

Mặt khác, \(d\left( {A;\,\gamma } \right) = \frac{{\left| {0 - 5.\,1 - 3.\,\left( { - 3} \right) + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {35} }}{5}\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 3\\D =  - 11\end{array} \right.\)

Vậy, mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) có phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x - 5y - 3z + 3 = 0\\x - 5y - 3z - 11 = 0\end{array} \right.\).