Lúc \(12\) giờ, kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ trùng nhau. Hỏi từ lúc đó đến khi hai kim trùng nhau lần đầu tiên, kim phút quay được một góc lượng giác bao nhiêu radian (làm tròn đến kết quả đến hàng phần chục)?

Giả sử \(s\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Vì đồ thị hàm số \(s\left( t \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0\,;\,0} \right)\), \(\left( {4\,;\,\frac{8}{3}\,} \right)\), \(\left( {8\,;\,\,\frac{{112}}{3}} \right)\) và \(\left( {10\,;\frac{{260}}{3}} \right)\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\64a + 16b + 4c = \frac{8}{3}\\512a + 64b + 8c = \frac{{112}}{3}\\1000a + 100b + 10c = \frac{{260}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\b = - 1\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\). Do đó \(s\left( t \right) = \frac{1}{6}{t^3} - {t^2} + 2t.\)

Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{1}{2}{t^2} - 2t + 2 \Rightarrow \)\(v'\left( t \right) = t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, từ giây thứ \(2\) trở đi vận tốc của vật tăng dần theo thời gian. Do đó trong \(10\) giây đầu tiên, khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần kéo dài trong \(8\) giây.

Đáp án: \(8\).

a) Đúng. Gọi mức lương mỗi tháng của anh \(X\) trong \(6\) tháng đầu là \({u_1} = 6\) triệu đồng thì mức lương anh \(X\) ở tháng thứ \(11\) là \({u_2} = {u_1} + {u_1} \cdot 15\% = {u_1}\left( {1 + 15\% } \right) = 6 \cdot \left( {1 + \frac{{15}}{{100}}} \right) = 6,9\) triệu đồng.

b) Sai. Gọi mức lương mỗi tháng của anh \(X\) trong \(6\) tháng đầu là \({u_1} = 6\) triệu đồng thì mức lương anh \(X\) ở mỗi tháng kỳ \(2\) là \({u_2} = {u_1} + {u_1} \cdot 15\% = {u_1}\left( {1 + 15\% } \right)\).

Mức lương mỗi tháng của kỳ thứ \(3\) là \({u_3} = {u_2} + {u_2} \cdot 15\% = {u_2}\left( {1 + 15\% } \right) = {u_1}{\left( {1 + 15\% } \right)^2}\).

….

Mức lương mỗi tháng của kỳ thứ \(n\) là \({u_n} = {u_1}{\left( {1,15} \right)^{n - 1}}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội là \(q = 1,15\).

c) Đúng. Ta có lương mỗi tháng của anh \(X\) theo từng kỳ \(6\) tháng là một cấp số nhân có \({u_1} = 6\), công bội \(q = 1,15\), khi đó tổng số tiền lương nhận được sau \(4\) năm (\(8\) kỳ) là

\({S_8} = 6\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_8}} \right)\) \( = 6 \cdot 6 \cdot \frac{{1 - 1,{{15}^8}}}{{1 - 1,15}} \approx 494,17\) triệu đồng.

d) Đúng. Ta có số tiền bảo hiểm thất nghiệp anh \(X\) phải đóng trong \(10\) năm (\(20\) kỳ) là

\({T_{20}} = 6 \cdot 1,5\% \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{20}}} \right)\)\( = 6 \cdot 1,5\% \cdot {u_1}\frac{{1 - 1,{{15}^{20}}}}{{1 - 1,15}} \approx 55,32\) triệu đồng.