Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {0;\,0;\,4} \right)\), \(B\left( {0;\, - 3;\,0} \right)\), \(C\left( {0;\,3;\,0} \right)\), \(D\left( {3;\,0;\,0} \right)\).

c) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{9}{{41}}\);

a) Tọa độ của điểm \(A\left( {0;\, - 2;0} \right)\);

Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):2x - 3y - 6z + 7 = 0,\left( {{P_2}} \right):2x + 2y + z + 8 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\).

a) Vectơ \({\vec n_1} = (2; - 3; - 6)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.OBCD\) có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {1;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {0;\,2;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\, - 3} \right)\).

a) Tọa độ điểm \(C\left( {1;\, - 2;\,0} \right)\);

c) \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\) với \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

d) $\alpha = {69}^0$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

c) \(\sin \alpha  = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}\) với \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d,\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 2024}}{2} = \frac{{y + 2025}}{3} = \frac{{z + 2026}}{6}\) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - 2y - 2z + 1 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\).

a) Vectơ \(\vec u = (2024;2025;2026)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).